Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19044 / 15428
↖ ↑ ↗
← N 10.444598°
E 29.223633°		 ← 1 201.40 m → N 10.444598°
E 29.234619°		 →
↑
1 201.38 m
↓
↑
1 201.38 m
↓
N 10.433793°
E 29.223633°		 ← 1 201.44 m →
1 443 359 m²		 N 10.433793°
E 29.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581192016601562 y=0.470840454101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581192016601562 × 215)
    floor (0.581192016601562 × 32768)
    floor (19044.5)     		tx = 19044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470840454101562 × 215)
    floor (0.470840454101562 × 32768)
    floor (15428.5)     		ty = 15428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19044 / 15428 ti = "15/19044/15428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19044/15428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19044 ÷ 215
    19044 ÷ 32768     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15428 ÷ 215
    15428 ÷ 32768     		y = 0.4708251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4708251953125 × 2 - 1) × π
    0.058349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.183310704147095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.183310704147095))-π/2
    2×atan(1.20118756406487)-π/2
    2×0.876544473049757-π/2
    1.75308894609951-1.57079632675     		φ = 0.18229262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18229262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.444598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19044 KachelY 15428 0.51004861 0.18229262 29.223633 10.444598
    Oben rechts KachelX + 1 19045 KachelY 15428 0.51024036 0.18229262 29.234619 10.444598
    Unten links KachelX 19044 KachelY + 1 15429 0.51004861 0.18210405 29.223633 10.433793
    Unten rechts KachelX + 1 19045 KachelY + 1 15429 0.51024036 0.18210405 29.234619 10.433793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18229262-0.18210405) × R
    0.000188569999999999 × 6371000     		dl = 1201.37946999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18229262-0.18210405) × R
    0.000188569999999999 × 6371000     		dr = 1201.37946999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51024036) × cos(0.18229262) × R
    0.000191749999999935 × 0.983430660774588 × 6371000     		do = 1201.39749485527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51024036) × cos(0.18210405) × R
    0.000191749999999935 × 0.98346482814189 × 6371000     		du = 1201.43923505223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18229262)-sin(0.18210405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983430660774588-0.98346482814189)×R²
    abs(0.51024036-0.51004861)×3.4167367301996e-05×R²
    0.000191749999999935×3.4167367301996e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.4167367301996e-05×40589641000000     		ar = 1443359.36281322m²