Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19044 / 14641
↖ ↑ ↗
← N 18.802318°
E 29.223633°		 ← 1 156.45 m → N 18.802318°
E 29.234619°		 →
↑
1 156.46 m
↓
↑
1 156.46 m
↓
N 18.791918°
E 29.223633°		 ← 1 156.52 m →
1 337 432 m²		 N 18.791918°
E 29.234619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581192016601562 y=0.446823120117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581192016601562 × 215)
    floor (0.581192016601562 × 32768)
    floor (19044.5)     		tx = 19044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446823120117188 × 215)
    floor (0.446823120117188 × 32768)
    floor (14641.5)     		ty = 14641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19044 / 14641 ti = "15/19044/14641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19044/14641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19044 ÷ 215
    19044 ÷ 32768     		x = 0.5811767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14641 ÷ 215
    14641 ÷ 32768     		y = 0.446807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5811767578125 × 2 - 1) × π
    0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446807861328125 × 2 - 1) × π
    0.10638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.334216064151032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.51004861} λ = 0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.334216064151032))-π/2
    2×atan(1.39684491908346)-π/2
    2×0.949479342508354-π/2
    1.89895868501671-1.57079632675     		φ = 0.32816236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32816236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.802318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19044 KachelY 14641 0.51004861 0.32816236 29.223633 18.802318
    Oben rechts KachelX + 1 19045 KachelY 14641 0.51024036 0.32816236 29.234619 18.802318
    Unten links KachelX 19044 KachelY + 1 14642 0.51004861 0.32798084 29.223633 18.791918
    Unten rechts KachelX + 1 19045 KachelY + 1 14642 0.51024036 0.32798084 29.234619 18.791918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32816236-0.32798084) × R
    0.000181519999999991 × 6371000     		dl = 1156.46391999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32816236-0.32798084) × R
    0.000181519999999991 × 6371000     		dr = 1156.46391999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.51004861-0.51024036) × cos(0.32816236) × R
    0.000191749999999935 × 0.946636220269372 × 6371000     		do = 1156.44796215232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.51004861-0.51024036) × cos(0.32798084) × R
    0.000191749999999935 × 0.946694709294984 × 6371000     		du = 1156.5194146417m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32816236)-sin(0.32798084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946636220269372-0.946694709294984)×R²
    abs(0.51024036-0.51004861)×5.84890256120074e-05×R²
    0.000191749999999935×5.84890256120074e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.84890256120074e-05×40589641000000     		ar = 1337431.66337189m²