Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19043 / 14973
↖ ↑ ↗
← N 15.315976°
E 29.212646°		 ← 1 178.25 m → N 15.315976°
E 29.223633°		 →
↑
1 178.25 m
↓
↑
1 178.25 m
↓
N 15.305380°
E 29.212646°		 ← 1 178.31 m →
1 388 313 m²		 N 15.305380°
E 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581161499023438 y=0.456954956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581161499023438 × 215)
    floor (0.581161499023438 × 32768)
    floor (19043.5)     		tx = 19043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.456954956054688 × 215)
    floor (0.456954956054688 × 32768)
    floor (14973.5)     		ty = 14973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19043 / 14973 ti = "15/19043/14973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19043/14973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19043 ÷ 215
    19043 ÷ 32768     		x = 0.581146240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14973 ÷ 215
    14973 ÷ 32768     		y = 0.456939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581146240234375 × 2 - 1) × π
    0.16229248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50985686
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.456939697265625 × 2 - 1) × π
    0.08612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.270555861455597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50985686} λ = 0.50985686}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.270555861455597))-π/2
    2×atan(1.31069281189481)-π/2
    2×0.919055267498319-π/2
    1.83811053499664-1.57079632675     		φ = 0.26731421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50985686} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.212646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26731421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.315976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19043 KachelY 14973 0.50985686 0.26731421 29.212646 15.315976
    Oben rechts KachelX + 1 19044 KachelY 14973 0.51004861 0.26731421 29.223633 15.315976
    Unten links KachelX 19043 KachelY + 1 14974 0.50985686 0.26712927 29.212646 15.305380
    Unten rechts KachelX + 1 19044 KachelY + 1 14974 0.51004861 0.26712927 29.223633 15.305380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26731421-0.26712927) × R
    0.000184940000000022 × 6371000     		dl = 1178.25274000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26731421-0.26712927) × R
    0.000184940000000022 × 6371000     		dr = 1178.25274000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50985686-0.51004861) × cos(0.26731421) × R
    0.000191750000000046 × 0.964483804066832 × 6371000     		do = 1178.25127103763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50985686-0.51004861) × cos(0.26712927) × R
    0.000191750000000046 × 0.964532637992443 × 6371000     		du = 1178.31092847789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26731421)-sin(0.26712927))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.964483804066832-0.964532637992443)×R²
    abs(0.51004861-0.50985686)×4.88339256111692e-05×R²
    0.000191750000000046×4.88339256111692e-05×6371000²
    0.000191750000000046×4.88339256111692e-05×40589641000000     		ar = 1388312.93823699m²