Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19043 / 10919
↖ ↑ ↗
← N 81.656896°
W127.696838°		 ← 44.31 m → N 81.656896°
W127.694092°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.656497°
W127.696838°		 ← 44.31 m →
1 965 m²		 N 81.656497°
W127.694092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145290374755859 y=0.0833091735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145290374755859 × 217)
    floor (0.145290374755859 × 131072)
    floor (19043.5)     		tx = 19043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0833091735839844 × 217)
    floor (0.0833091735839844 × 131072)
    floor (10919.5)     		ty = 10919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19043 / 10919 ti = "17/19043/10919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19043/10919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19043 ÷ 217
    19043 ÷ 131072     		x = 0.145286560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10919 ÷ 217
    10919 ÷ 131072     		y = 0.0833053588867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145286560058594 × 2 - 1) × π
    -0.709426879882812 × 3.1415926535     		Λ = -2.22873027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0833053588867188 × 2 - 1) × π
    0.833389282226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.61816964654861
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22873027} λ = -2.22873027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61816964654861))-π/2
    2×atan(13.7106053506427)-π/2
    2×1.49798900857728-π/2
    2.99597801715457-1.57079632675     		φ = 1.42518169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22873027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.696838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42518169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.656896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19043 KachelY 10919 -2.22873027 1.42518169 -127.696838 81.656896
    Oben rechts KachelX + 1 19044 KachelY 10919 -2.22868234 1.42518169 -127.694092 81.656896
    Unten links KachelX 19043 KachelY + 1 10920 -2.22873027 1.42517473 -127.696838 81.656497
    Unten rechts KachelX + 1 19044 KachelY + 1 10920 -2.22868234 1.42517473 -127.694092 81.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42518169-1.42517473) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42518169-1.42517473) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22873027--2.22868234) × cos(1.42518169) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145100589117692 × 6371000     		do = 44.3082104467909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22873027--2.22868234) × cos(1.42517473) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.145107475455861 × 6371000     		du = 44.3103132729936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42518169)-sin(1.42517473))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145100589117692-0.145107475455861)×R²
    abs(-2.22868234--2.22873027)×6.8863381695039e-06×R²
    4.79299999995852e-05×6.8863381695039e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×6.8863381695039e-06×40589641000000     		ar = 1964.76837886144m²