Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19042 / 14998
↖ ↑ ↗
← N 15.050906°
E 29.201660°		 ← 1 179.67 m → N 15.050906°
E 29.212646°		 →
↑
1 179.72 m
↓
↑
1 179.72 m
↓
N 15.040296°
E 29.201660°		 ← 1 179.73 m →
1 391 713 m²		 N 15.040296°
E 29.212646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14998 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581130981445312 y=0.457717895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581130981445312 × 215)
    floor (0.581130981445312 × 32768)
    floor (19042.5)     		tx = 19042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.457717895507812 × 215)
    floor (0.457717895507812 × 32768)
    floor (14998.5)     		ty = 14998
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19042 / 14998 ti = "15/19042/14998"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19042/14998.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19042 ÷ 215
    19042 ÷ 32768     		x = 0.58111572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14998 ÷ 215
    14998 ÷ 32768     		y = 0.45770263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58111572265625 × 2 - 1) × π
    0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45770263671875 × 2 - 1) × π
    0.0845947265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.265762171493591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50966512} λ = 0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.265762171493591))-π/2
    2×atan(1.30442479239321)-π/2
    2×0.916742093397283-π/2
    1.83348418679457-1.57079632675     		φ = 0.26268786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.26268786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.050906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19042 KachelY 14998 0.50966512 0.26268786 29.201660 15.050906
    Oben rechts KachelX + 1 19043 KachelY 14998 0.50985686 0.26268786 29.212646 15.050906
    Unten links KachelX 19042 KachelY + 1 14999 0.50966512 0.26250269 29.201660 15.040296
    Unten rechts KachelX + 1 19043 KachelY + 1 14999 0.50985686 0.26250269 29.212646 15.040296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.26268786-0.26250269) × R
    0.000185170000000012 × 6371000     		dl = 1179.71807000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.26268786-0.26250269) × R
    0.000185170000000012 × 6371000     		dr = 1179.71807000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50966512-0.50985686) × cos(0.26268786) × R
    0.000191739999999996 × 0.965695491550081 × 6371000     		do = 1179.66999156583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50966512-0.50985686) × cos(0.26250269) × R
    0.000191739999999996 × 0.965743559410171 × 6371000     		du = 1179.72871008798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.26268786)-sin(0.26250269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.965695491550081-0.965743559410171)×R²
    abs(0.50985686-0.50966512)×4.80678600899287e-05×R²
    0.000191739999999996×4.80678600899287e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.80678600899287e-05×40589641000000     		ar = 1391712.64531445m²