Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19041 / 14625
↖ ↑ ↗
← N 18.968636°
E 29.190674°		 ← 1 155.30 m → N 18.968636°
E 29.201660°		 →
↑
1 155.32 m
↓
↑
1 155.32 m
↓
N 18.958246°
E 29.190674°		 ← 1 155.37 m →
1 334 780 m²		 N 18.958246°
E 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581100463867188 y=0.446334838867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581100463867188 × 215)
    floor (0.581100463867188 × 32768)
    floor (19041.5)     		tx = 19041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446334838867188 × 215)
    floor (0.446334838867188 × 32768)
    floor (14625.5)     		ty = 14625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19041 / 14625 ti = "15/19041/14625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19041/14625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19041 ÷ 215
    19041 ÷ 32768     		x = 0.581085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14625 ÷ 215
    14625 ÷ 32768     		y = 0.446319580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581085205078125 × 2 - 1) × π
    0.16217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50947337
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446319580078125 × 2 - 1) × π
    0.10736083984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.337284025726715
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50947337} λ = 0.50947337}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.337284025726715))-π/2
    2×atan(1.40113696617364)-π/2
    2×0.950930744541132-π/2
    1.90186148908226-1.57079632675     		φ = 0.33106516
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50947337} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.190674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33106516 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.968636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19041 KachelY 14625 0.50947337 0.33106516 29.190674 18.968636
    Oben rechts KachelX + 1 19042 KachelY 14625 0.50966512 0.33106516 29.201660 18.968636
    Unten links KachelX 19041 KachelY + 1 14626 0.50947337 0.33088382 29.190674 18.958246
    Unten rechts KachelX + 1 19042 KachelY + 1 14626 0.50966512 0.33088382 29.201660 18.958246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33106516-0.33088382) × R
    0.00018134000000003 × 6371000     		dl = 1155.31714000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33106516-0.33088382) × R
    0.00018134000000003 × 6371000     		dr = 1155.31714000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50947337-0.50966512) × cos(0.33106516) × R
    0.000191749999999935 × 0.945696649247924 × 6371000     		do = 1155.30014531436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50947337-0.50966512) × cos(0.33088382) × R
    0.000191749999999935 × 0.945755578361627 × 6371000     		du = 1155.37213543262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33106516)-sin(0.33088382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945696649247924-0.945755578361627)×R²
    abs(0.50966512-0.50947337)×5.89291137031989e-05×R²
    0.000191749999999935×5.89291137031989e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.89291137031989e-05×40589641000000     		ar = 1334779.64909278m²