Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1904 / 2386
↖ ↑ ↗
← S 28.459033°
W 12.656250°		 ← 8 592 m → S 28.459033°
W 12.568359°		 →
↑
8 588.87 m
↓
↑
8 588.87 m
↓
S 28.536275°
W 12.656250°		 ← 8 585.71 m →
73 768 608 m²		 S 28.536275°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2386 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4649658203125 y=0.5826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4649658203125 × 212)
    floor (0.4649658203125 × 4096)
    floor (1904.5)     		tx = 1904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5826416015625 × 212)
    floor (0.5826416015625 × 4096)
    floor (2386.5)     		ty = 2386
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1904 / 2386 ti = "12/1904/2386"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1904/2386.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1904 ÷ 212
    1904 ÷ 4096     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2386 ÷ 212
    2386 ÷ 4096     		y = 0.58251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518485506290527))-π/2
    2×atan(0.595421627767857)-π/2
    2×0.537046249339943-π/2
    1.07409249867989-1.57079632675     		φ = -0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1904 KachelY 2386 -0.22089323 -0.49670383 -12.656250 -28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 1905 KachelY 2386 -0.21935925 -0.49670383 -12.568359 -28.459033
    Unten links KachelX 1904 KachelY + 1 2387 -0.22089323 -0.49805195 -12.656250 -28.536275
    Unten rechts KachelX + 1 1905 KachelY + 1 2387 -0.21935925 -0.49805195 -12.568359 -28.536275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49670383--0.49805195) × R
    0.00134812000000001 × 6371000     		dl = 8588.87252000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49670383--0.49805195) × R
    0.00134812000000001 × 6371000     		dr = 8588.87252000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.21935925) × cos(-0.49670383) × R
    0.00153397999999999 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 8591.99991972367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.21935925) × cos(-0.49805195) × R
    0.00153397999999999 × 0.878514841052166 × 6371000     		du = 8585.7137519336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49670383)-sin(-0.49805195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.878514841052166)×R²
    abs(-0.21935925--0.22089323)×0.000643218706852466×R²
    0.00153397999999999×0.000643218706852466×6371000²
    0.00153397999999999×0.000643218706852466×40589641000000     		ar = 73768607.6278882m²