Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1904 / 1744
↖ ↑ ↗
← N 25.799891°
W 12.656250°		 ← 8 798.81 m → N 25.799891°
W 12.568359°		 →
↑
8 801.79 m
↓
↑
8 801.79 m
↓
N 25.720735°
W 12.656250°		 ← 8 804.68 m →
77 471 138 m²		 N 25.720735°
W 12.568359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4649658203125 y=0.4259033203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4649658203125 × 212)
    floor (0.4649658203125 × 4096)
    floor (1904.5)     		tx = 1904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4259033203125 × 212)
    floor (0.4259033203125 × 4096)
    floor (1744.5)     		ty = 1744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1904 / 1744 ti = "12/1904/1744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1904/1744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1904 ÷ 212
    1904 ÷ 4096     		x = 0.46484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1744 ÷ 212
    1744 ÷ 4096     		y = 0.42578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.46484375 × 2 - 1) × π
    -0.0703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22089323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42578125 × 2 - 1) × π
    0.1484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.466330159503906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22089323} λ = -0.22089323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.466330159503906))-π/2
    2×atan(1.59413323071017)-π/2
    2×1.01054468728329-π/2
    2.02108937456659-1.57079632675     		φ = 0.45029305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22089323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45029305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.799891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1904 KachelY 1744 -0.22089323 0.45029305 -12.656250 25.799891
    Oben rechts KachelX + 1 1905 KachelY 1744 -0.21935925 0.45029305 -12.568359 25.799891
    Unten links KachelX 1904 KachelY + 1 1745 -0.22089323 0.44891151 -12.656250 25.720735
    Unten rechts KachelX + 1 1905 KachelY + 1 1745 -0.21935925 0.44891151 -12.568359 25.720735
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45029305-0.44891151) × R
    0.00138153999999996 × 6371000     		dl = 8801.79133999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45029305-0.44891151) × R
    0.00138153999999996 × 6371000     		dr = 8801.79133999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22089323--0.21935925) × cos(0.45029305) × R
    0.00153397999999999 × 0.900319597040296 × 6371000     		do = 8798.81133958577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22089323--0.21935925) × cos(0.44891151) × R
    0.00153397999999999 × 0.90092002446388 × 6371000     		du = 8804.67930873872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45029305)-sin(0.44891151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900319597040296-0.90092002446388)×R²
    abs(-0.21935925--0.22089323)×0.000600427423583905×R²
    0.00153397999999999×0.000600427423583905×6371000²
    0.00153397999999999×0.000600427423583905×40589641000000     		ar = 77471138.0932207m²