Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19039 / 15455
↖ ↑ ↗
← N 10.152746°
E 29.168701°		 ← 1 202.51 m → N 10.152746°
E 29.179687°		 →
↑
1 202.53 m
↓
↑
1 202.53 m
↓
N 10.141932°
E 29.168701°		 ← 1 202.55 m →
1 446 074 m²		 N 10.141932°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581039428710938 y=0.471664428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581039428710938 × 215)
    floor (0.581039428710938 × 32768)
    floor (19039.5)     		tx = 19039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471664428710938 × 215)
    floor (0.471664428710938 × 32768)
    floor (15455.5)     		ty = 15455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19039 / 15455 ti = "15/19039/15455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19039/15455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19039 ÷ 215
    19039 ÷ 32768     		x = 0.581024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15455 ÷ 215
    15455 ÷ 32768     		y = 0.471649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50908987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471649169921875 × 2 - 1) × π
    0.05670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.178133518988129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50908987} λ = 0.50908987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178133518988129))-π/2
    2×atan(1.19498486375342)-π/2
    2×0.873997587749172-π/2
    1.74799517549834-1.57079632675     		φ = 0.17719885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50908987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17719885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.152746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19039 KachelY 15455 0.50908987 0.17719885 29.168701 10.152746
    Oben rechts KachelX + 1 19040 KachelY 15455 0.50928162 0.17719885 29.179687 10.152746
    Unten links KachelX 19039 KachelY + 1 15456 0.50908987 0.17701010 29.168701 10.141932
    Unten rechts KachelX + 1 19040 KachelY + 1 15456 0.50928162 0.17701010 29.179687 10.141932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17719885-0.17701010) × R
    0.000188749999999988 × 6371000     		dl = 1202.52624999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17719885-0.17701010) × R
    0.000188749999999988 × 6371000     		dr = 1202.52624999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(0.17719885) × R
    0.000191749999999935 × 0.984341320988527 × 6371000     		do = 1202.50999311603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(0.17701010) × R
    0.000191749999999935 × 0.984374574979126 × 6371000     		du = 1202.55061749616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17719885)-sin(0.17701010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984341320988527-0.984374574979126)×R²
    abs(0.50928162-0.50908987)×3.32539905981699e-05×R²
    0.000191749999999935×3.32539905981699e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.32539905981699e-05×40589641000000     		ar = 1446074.26284432m²