Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19039 / 15454
↖ ↑ ↗
← N 10.163560°
E 29.168701°		 ← 1 202.47 m → N 10.163560°
E 29.179687°		 →
↑
1 202.46 m
↓
↑
1 202.46 m
↓
N 10.152746°
E 29.168701°		 ← 1 202.51 m →
1 445 949 m²		 N 10.152746°
E 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.581039428710938 y=0.471633911132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.581039428710938 × 215)
    floor (0.581039428710938 × 32768)
    floor (19039.5)     		tx = 19039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471633911132812 × 215)
    floor (0.471633911132812 × 32768)
    floor (15454.5)     		ty = 15454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19039 / 15454 ti = "15/19039/15454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19039/15454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19039 ÷ 215
    19039 ÷ 32768     		x = 0.581024169921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15454 ÷ 215
    15454 ÷ 32768     		y = 0.47161865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.581024169921875 × 2 - 1) × π
    0.16204833984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50908987
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47161865234375 × 2 - 1) × π
    0.0567626953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.178325266586609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50908987} λ = 0.50908987}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.178325266586609))-π/2
    2×atan(1.19521402120076)-π/2
    2×0.874091958695952-π/2
    1.7481839173919-1.57079632675     		φ = 0.17738759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50908987} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.168701°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17738759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.163560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19039 KachelY 15454 0.50908987 0.17738759 29.168701 10.163560
    Oben rechts KachelX + 1 19040 KachelY 15454 0.50928162 0.17738759 29.179687 10.163560
    Unten links KachelX 19039 KachelY + 1 15455 0.50908987 0.17719885 29.168701 10.152746
    Unten rechts KachelX + 1 19040 KachelY + 1 15455 0.50928162 0.17719885 29.179687 10.152746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17738759-0.17719885) × R
    0.000188740000000021 × 6371000     		dl = 1202.46254000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17738759-0.17719885) × R
    0.000188740000000021 × 6371000     		dr = 1202.46254000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(0.17738759) × R
    0.000191749999999935 × 0.984308033693819 × 6371000     		do = 1202.46932805028m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50908987-0.50928162) × cos(0.17719885) × R
    0.000191749999999935 × 0.984341320988527 × 6371000     		du = 1202.50999311603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17738759)-sin(0.17719885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984308033693819-0.984341320988527)×R²
    abs(0.50928162-0.50908987)×3.32872947079732e-05×R²
    0.000191749999999935×3.32872947079732e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.32872947079732e-05×40589641000000     		ar = 1445948.77588121m²