Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19039 / 10915
↖ ↑ ↗
← N 81.658490°
W127.707825°		 ← 44.31 m → N 81.658490°
W127.705078°		 →
↑
44.28 m
↓
↑
44.28 m
↓
N 81.658092°
W127.707825°		 ← 44.31 m →
1 962 m²		 N 81.658092°
W127.705078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10915 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145259857177734 y=0.0832786560058594 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145259857177734 × 217)
    floor (0.145259857177734 × 131072)
    floor (19039.5)     		tx = 19039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832786560058594 × 217)
    floor (0.0832786560058594 × 131072)
    floor (10915.5)     		ty = 10915
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19039 / 10915 ti = "17/19039/10915"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19039/10915.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19039 ÷ 217
    19039 ÷ 131072     		x = 0.145256042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10915 ÷ 217
    10915 ÷ 131072     		y = 0.0832748413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145256042480469 × 2 - 1) × π
    -0.709487915039062 × 3.1415926535     		Λ = -2.22892202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832748413085938 × 2 - 1) × π
    0.833450317382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.61836139414709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22892202} λ = -2.22892202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61836139414709))-π/2
    2×atan(13.7132345783584)-π/2
    2×1.49800291860246-π/2
    2.99600583720493-1.57079632675     		φ = 1.42520951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22892202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.707825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42520951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.658490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19039 KachelY 10915 -2.22892202 1.42520951 -127.707825 81.658490
    Oben rechts KachelX + 1 19040 KachelY 10915 -2.22887408 1.42520951 -127.705078 81.658490
    Unten links KachelX 19039 KachelY + 1 10916 -2.22892202 1.42520256 -127.707825 81.658092
    Unten rechts KachelX + 1 19040 KachelY + 1 10916 -2.22887408 1.42520256 -127.705078 81.658092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42520951-1.42520256) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dl = 44.2784499996818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42520951-1.42520256) × R
    6.94999999995005e-06 × 6371000     		dr = 44.2784499996818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22892202--2.22887408) × cos(1.42520951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145073063483148 × 6371000     		do = 44.3090477683783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22892202--2.22887408) × cos(1.42520256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145079939955211 × 6371000     		du = 44.3111480199468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42520951)-sin(1.42520256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145073063483148-0.145079939955211)×R²
    abs(-2.22887408--2.22892202)×6.87647206343289e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.87647206343289e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.87647206343289e-06×40589641000000     		ar = 1961.98245404784m²