Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19037 / 10913
↖ ↑ ↗
← N 81.659287°
W127.713318°		 ← 44.30 m → N 81.659287°
W127.710571°		 →
↑
44.34 m
↓
↑
44.34 m
↓
N 81.658888°
W127.713318°		 ← 44.31 m →
1 965 m²		 N 81.658888°
W127.710571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145244598388672 y=0.0832633972167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145244598388672 × 217)
    floor (0.145244598388672 × 131072)
    floor (19037.5)     		tx = 19037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0832633972167969 × 217)
    floor (0.0832633972167969 × 131072)
    floor (10913.5)     		ty = 10913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19037 / 10913 ti = "17/19037/10913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19037/10913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19037 ÷ 217
    19037 ÷ 131072     		x = 0.145240783691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10913 ÷ 217
    10913 ÷ 131072     		y = 0.0832595825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.145240783691406 × 2 - 1) × π
    -0.709518432617188 × 3.1415926535     		Λ = -2.22901790
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0832595825195312 × 2 - 1) × π
    0.833480834960938 × 3.1415926535     		Φ = 2.61845726794633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22901790} λ = -2.22901790}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61845726794633))-π/2
    2×atan(13.7145493812839)-π/2
    2×1.49800987262549-π/2
    2.99601974525099-1.57079632675     		φ = 1.42522342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22901790} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.713318°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42522342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.659287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19037 KachelY 10913 -2.22901790 1.42522342 -127.713318 81.659287
    Oben rechts KachelX + 1 19038 KachelY 10913 -2.22896996 1.42522342 -127.710571 81.659287
    Unten links KachelX 19037 KachelY + 1 10914 -2.22901790 1.42521646 -127.713318 81.658888
    Unten rechts KachelX + 1 19038 KachelY + 1 10914 -2.22896996 1.42521646 -127.710571 81.658888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42522342-1.42521646) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dl = 44.3421600007092m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42522342-1.42521646) × R
    6.96000000011132e-06 × 6371000     		dr = 44.3421600007092m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22901790--2.22896996) × cos(1.42522342) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145059300623769 × 6371000     		do = 44.3048442368681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22901790--2.22896996) × cos(1.42521646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.145066187004077 × 6371000     		du = 44.3069475146695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42522342)-sin(1.42521646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145059300623769-0.145066187004077)×R²
    abs(-2.22896996--2.22901790)×6.88638030763022e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.88638030763022e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.88638030763022e-06×40589641000000     		ar = 1964.61912380591m²