Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19035 / 14044
↖ ↑ ↗
← N 24.886437°
E 29.124756°		 ← 1 108.20 m → N 24.886437°
E 29.135742°		 →
↑
1 108.24 m
↓
↑
1 108.24 m
↓
N 24.876470°
E 29.124756°		 ← 1 108.29 m →
1 228 199 m²		 N 24.876470°
E 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580917358398438 y=0.428604125976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580917358398438 × 215)
    floor (0.580917358398438 × 32768)
    floor (19035.5)     		tx = 19035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428604125976562 × 215)
    floor (0.428604125976562 × 32768)
    floor (14044.5)     		ty = 14044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19035 / 14044 ti = "15/19035/14044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19035/14044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19035 ÷ 215
    19035 ÷ 32768     		x = 0.580902099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14044 ÷ 215
    14044 ÷ 32768     		y = 0.4285888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580902099609375 × 2 - 1) × π
    0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4285888671875 × 2 - 1) × π
    0.142822265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.448689380443726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50832288} λ = 0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448689380443726))-π/2
    2×atan(1.56625807124471)-π/2
    2×1.00257329131799-π/2
    2.00514658263597-1.57079632675     		φ = 0.43435026
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43435026 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.886437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19035 KachelY 14044 0.50832288 0.43435026 29.124756 24.886437
    Oben rechts KachelX + 1 19036 KachelY 14044 0.50851463 0.43435026 29.135742 24.886437
    Unten links KachelX 19035 KachelY + 1 14045 0.50832288 0.43417631 29.124756 24.876470
    Unten rechts KachelX + 1 19036 KachelY + 1 14045 0.50851463 0.43417631 29.135742 24.876470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43435026-0.43417631) × R
    0.000173949999999978 × 6371000     		dl = 1108.23544999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43435026-0.43417631) × R
    0.000173949999999978 × 6371000     		dr = 1108.23544999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50832288-0.50851463) × cos(0.43435026) × R
    0.000191749999999935 × 0.907143658051196 × 6371000     		do = 1108.20229806354m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50832288-0.50851463) × cos(0.43417631) × R
    0.000191749999999935 × 0.907216846153716 × 6371000     		du = 1108.29170752221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43435026)-sin(0.43417631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.907143658051196-0.907216846153716)×R²
    abs(0.50851463-0.50832288)×7.31881025194392e-05×R²
    0.000191749999999935×7.31881025194392e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.31881025194392e-05×40589641000000     		ar = 1228198.61894815m²