Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19033 / 14616
↖ ↑ ↗
← N 19.062118°
E 29.102783°		 ← 1 154.65 m → N 19.062118°
E 29.113770°		 →
↑
1 154.68 m
↓
↑
1 154.68 m
↓
N 19.051734°
E 29.102783°		 ← 1 154.72 m →
1 333 294 m²		 N 19.051734°
E 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580856323242188 y=0.446060180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580856323242188 × 215)
    floor (0.580856323242188 × 32768)
    floor (19033.5)     		tx = 19033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.446060180664062 × 215)
    floor (0.446060180664062 × 32768)
    floor (14616.5)     		ty = 14616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19033 / 14616 ti = "15/19033/14616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19033/14616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19033 ÷ 215
    19033 ÷ 32768     		x = 0.580841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14616 ÷ 215
    14616 ÷ 32768     		y = 0.446044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580841064453125 × 2 - 1) × π
    0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.446044921875 × 2 - 1) × π
    0.10791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339009754113037
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50793939} λ = 0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339009754113037))-π/2
    2×atan(1.40355703559994)-π/2
    2×0.951746523128181-π/2
    1.90349304625636-1.57079632675     		φ = 0.33269672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33269672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.062118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19033 KachelY 14616 0.50793939 0.33269672 29.102783 19.062118
    Oben rechts KachelX + 1 19034 KachelY 14616 0.50813114 0.33269672 29.113770 19.062118
    Unten links KachelX 19033 KachelY + 1 14617 0.50793939 0.33251548 29.102783 19.051734
    Unten rechts KachelX + 1 19034 KachelY + 1 14617 0.50813114 0.33251548 29.113770 19.051734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33269672-0.33251548) × R
    0.000181240000000027 × 6371000     		dl = 1154.68004000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33269672-0.33251548) × R
    0.000181240000000027 × 6371000     		dr = 1154.68004000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50793939-0.50813114) × cos(0.33269672) × R
    0.000191750000000046 × 0.945165051322812 × 6371000     		do = 1154.65072442449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50793939-0.50813114) × cos(0.33251548) × R
    0.000191750000000046 × 0.945224227525021 × 6371000     		du = 1154.72301639577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33269672)-sin(0.33251548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945165051322812-0.945224227525021)×R²
    abs(0.50813114-0.50793939)×5.91762022087439e-05×R²
    0.000191750000000046×5.91762022087439e-05×6371000²
    0.000191750000000046×5.91762022087439e-05×40589641000000     		ar = 1333293.88536257m²