Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19033 / 13644
↖ ↑ ↗
← N 28.806173°
E 29.102783°		 ← 1 070.47 m → N 28.806173°
E 29.113770°		 →
↑
1 070.46 m
↓
↑
1 070.46 m
↓
N 28.796547°
E 29.102783°		 ← 1 070.57 m →
1 145 940 m²		 N 28.796547°
E 29.113770°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580856323242188 y=0.416397094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580856323242188 × 215)
    floor (0.580856323242188 × 32768)
    floor (19033.5)     		tx = 19033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416397094726562 × 215)
    floor (0.416397094726562 × 32768)
    floor (13644.5)     		ty = 13644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19033 / 13644 ti = "15/19033/13644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19033/13644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19033 ÷ 215
    19033 ÷ 32768     		x = 0.580841064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13644 ÷ 215
    13644 ÷ 32768     		y = 0.4163818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580841064453125 × 2 - 1) × π
    0.16168212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50793939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4163818359375 × 2 - 1) × π
    0.167236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.525388419835815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50793939} λ = 0.50793939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.525388419835815))-π/2
    2×atan(1.69111558366368)-π/2
    2×1.03677944970601-π/2
    2.07355889941202-1.57079632675     		φ = 0.50276257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50793939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.102783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50276257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.806173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19033 KachelY 13644 0.50793939 0.50276257 29.102783 28.806173
    Oben rechts KachelX + 1 19034 KachelY 13644 0.50813114 0.50276257 29.113770 28.806173
    Unten links KachelX 19033 KachelY + 1 13645 0.50793939 0.50259455 29.102783 28.796547
    Unten rechts KachelX + 1 19034 KachelY + 1 13645 0.50813114 0.50259455 29.113770 28.796547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50276257-0.50259455) × R
    0.000168020000000046 × 6371000     		dl = 1070.4554200003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50276257-0.50259455) × R
    0.000168020000000046 × 6371000     		dr = 1070.4554200003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50793939-0.50813114) × cos(0.50276257) × R
    0.000191750000000046 × 0.876254768202742 × 6371000     		do = 1070.46721783638m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50793939-0.50813114) × cos(0.50259455) × R
    0.000191750000000046 × 0.87633571594968 × 6371000     		du = 1070.56610678124m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50276257)-sin(0.50259455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876254768202742-0.87633571594968)×R²
    abs(0.50813114-0.50793939)×8.09477469385644e-05×R²
    0.000191750000000046×8.09477469385644e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.09477469385644e-05×40589641000000     		ar = 1145940.36606532m²