Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 19032 / 15784
↖ ↑ ↗
← N 79.476606°
W127.727051°		 ← 55.78 m → N 79.476606°
W127.724304°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
N 79.476104°
W127.727051°		 ← 55.78 m →
3 113 m²		 N 79.476104°
W127.724304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.145206451416016 y=0.120426177978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.145206451416016 × 217)
    floor (0.145206451416016 × 131072)
    floor (19032.5)     		tx = 19032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120426177978516 × 217)
    floor (0.120426177978516 × 131072)
    floor (15784.5)     		ty = 15784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 19032 / 15784 ti = "17/19032/15784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/19032/15784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19032 ÷ 217
    19032 ÷ 131072     		x = 0.14520263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15784 ÷ 217
    15784 ÷ 131072     		y = 0.12042236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14520263671875 × 2 - 1) × π
    -0.7095947265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.22925758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12042236328125 × 2 - 1) × π
    0.7591552734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.38495662989703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.22925758} λ = -2.22925758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38495662989703))-π/2
    2×atan(10.8585917164672)-π/2
    2×1.47896238674713-π/2
    2.95792477349425-1.57079632675     		φ = 1.38712845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.22925758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.727051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38712845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.476606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19032 KachelY 15784 -2.22925758 1.38712845 -127.727051 79.476606
    Oben rechts KachelX + 1 19033 KachelY 15784 -2.22920964 1.38712845 -127.724304 79.476606
    Unten links KachelX 19032 KachelY + 1 15785 -2.22925758 1.38711969 -127.727051 79.476104
    Unten rechts KachelX + 1 19033 KachelY + 1 15785 -2.22920964 1.38711969 -127.724304 79.476104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38712845-1.38711969) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38712845-1.38711969) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.22925758--2.22920964) × cos(1.38712845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182636978515362 × 6371000     		do = 55.7820343143818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.22925758--2.22920964) × cos(1.38711969) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182645591168814 × 6371000     		du = 55.7846648404361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38712845)-sin(1.38711969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182636978515362-0.182645591168814)×R²
    abs(-2.22920964--2.22925758)×8.61265345292184e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61265345292184e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61265345292184e-06×40589641000000     		ar = 3113.26650843002m²