Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1903 / 1267
↖ ↑ ↗
← N 56.413901°
W 12.744140°		 ← 5 406.31 m → N 56.413901°
W 12.656250°		 →
↑
5 409.74 m
↓
↑
5 409.74 m
↓
N 56.365250°
W 12.744140°		 ← 5 413.22 m →
29 265 462 m²		 N 56.365250°
W 12.656250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4647216796875 y=0.3094482421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4647216796875 × 212)
    floor (0.4647216796875 × 4096)
    floor (1903.5)     		tx = 1903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3094482421875 × 212)
    floor (0.3094482421875 × 4096)
    floor (1267.5)     		ty = 1267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1903 / 1267 ti = "12/1903/1267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1903/1267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1903 ÷ 212
    1903 ÷ 4096     		x = 0.464599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1267 ÷ 212
    1267 ÷ 4096     		y = 0.309326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    -0.07080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.22242721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.309326171875 × 2 - 1) × π
    0.38134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.19803899530444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22242721} λ = -0.22242721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.19803899530444))-π/2
    2×atan(3.31361253751066)-π/2
    2×1.27770232484132-π/2
    2.55540464968263-1.57079632675     		φ = 0.98460832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22242721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.744140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98460832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.413901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1903 KachelY 1267 -0.22242721 0.98460832 -12.744140 56.413901
    Oben rechts KachelX + 1 1904 KachelY 1267 -0.22089323 0.98460832 -12.656250 56.413901
    Unten links KachelX 1903 KachelY + 1 1268 -0.22242721 0.98375920 -12.744140 56.365250
    Unten rechts KachelX + 1 1904 KachelY + 1 1268 -0.22089323 0.98375920 -12.656250 56.365250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98460832-0.98375920) × R
    0.000849120000000037 × 6371000     		dl = 5409.74352000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98460832-0.98375920) × R
    0.000849120000000037 × 6371000     		dr = 5409.74352000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22242721--0.22089323) × cos(0.98460832) × R
    0.00153397999999999 × 0.553189448044213 × 6371000     		do = 5406.31305193367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22242721--0.22089323) × cos(0.98375920) × R
    0.00153397999999999 × 0.553896612603209 × 6371000     		du = 5413.22416167858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98460832)-sin(0.98375920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.553189448044213-0.553896612603209)×R²
    abs(-0.22089323--0.22242721)×0.000707164558995665×R²
    0.00153397999999999×0.000707164558995665×6371000²
    0.00153397999999999×0.000707164558995665×40589641000000     		ar = 29265462.4237475m²