Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19029 / 14180
↖ ↑ ↗
← N 23.523700°
E 29.058838°		 ← 1 120.11 m → N 23.523700°
E 29.069824°		 →
↑
1 120.15 m
↓
↑
1 120.15 m
↓
N 23.513626°
E 29.058838°		 ← 1 120.20 m →
1 254 744 m²		 N 23.513626°
E 29.069824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580734252929688 y=0.432754516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580734252929688 × 215)
    floor (0.580734252929688 × 32768)
    floor (19029.5)     		tx = 19029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432754516601562 × 215)
    floor (0.432754516601562 × 32768)
    floor (14180.5)     		ty = 14180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19029 / 14180 ti = "15/19029/14180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19029/14180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19029 ÷ 215
    19029 ÷ 32768     		x = 0.580718994140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14180 ÷ 215
    14180 ÷ 32768     		y = 0.4327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580718994140625 × 2 - 1) × π
    0.16143798828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50717240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4327392578125 × 2 - 1) × π
    0.134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.422611707050415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50717240} λ = 0.50717240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.422611707050415))-π/2
    2×atan(1.52594166852601)-π/2
    2×0.990681172530943-π/2
    1.98136234506189-1.57079632675     		φ = 0.41056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50717240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.058838°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.523700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19029 KachelY 14180 0.50717240 0.41056602 29.058838 23.523700
    Oben rechts KachelX + 1 19030 KachelY 14180 0.50736415 0.41056602 29.069824 23.523700
    Unten links KachelX 19029 KachelY + 1 14181 0.50717240 0.41039020 29.058838 23.513626
    Unten rechts KachelX + 1 19030 KachelY + 1 14181 0.50736415 0.41039020 29.069824 23.513626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41056602-0.41039020) × R
    0.000175819999999993 × 6371000     		dl = 1120.14921999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41056602-0.41039020) × R
    0.000175819999999993 × 6371000     		dr = 1120.14921999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50717240-0.50736415) × cos(0.41056602) × R
    0.000191750000000046 × 0.916895055063869 × 6371000     		do = 1120.1149873972m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50717240-0.50736415) × cos(0.41039020) × R
    0.000191750000000046 × 0.916965215642181 × 6371000     		du = 1120.20069831347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41056602)-sin(0.41039020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916895055063869-0.916965215642181)×R²
    abs(0.50736415-0.50717240)×7.01605783115511e-05×R²
    0.000191750000000046×7.01605783115511e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.01605783115511e-05×40589641000000     		ar = 1254743.9371836m²