Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19028 / 14922
↖ ↑ ↗
← N 15.855674°
E 29.047852°		 ← 1 175.16 m → N 15.855674°
E 29.058838°		 →
↑
1 175.19 m
↓
↑
1 175.19 m
↓
N 15.845105°
E 29.047852°		 ← 1 175.22 m →
1 381 077 m²		 N 15.845105°
E 29.058838°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14922 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580703735351562 y=0.455398559570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580703735351562 × 215)
    floor (0.580703735351562 × 32768)
    floor (19028.5)     		tx = 19028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.455398559570312 × 215)
    floor (0.455398559570312 × 32768)
    floor (14922.5)     		ty = 14922
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19028 / 14922 ti = "15/19028/14922"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19028/14922.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19028 ÷ 215
    19028 ÷ 32768     		x = 0.5806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14922 ÷ 215
    14922 ÷ 32768     		y = 0.45538330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5806884765625 × 2 - 1) × π
    0.161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50698065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.45538330078125 × 2 - 1) × π
    0.0892333984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.280334988978088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50698065} λ = 0.50698065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.280334988978088))-π/2
    2×atan(1.32357312048868)-π/2
    2×0.923765017328956-π/2
    1.84753003465791-1.57079632675     		φ = 0.27673371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50698065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.047852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.27673371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 15.855674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19028 KachelY 14922 0.50698065 0.27673371 29.047852 15.855674
    Oben rechts KachelX + 1 19029 KachelY 14922 0.50717240 0.27673371 29.058838 15.855674
    Unten links KachelX 19028 KachelY + 1 14923 0.50698065 0.27654925 29.047852 15.845105
    Unten rechts KachelX + 1 19029 KachelY + 1 14923 0.50717240 0.27654925 29.058838 15.845105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.27673371-0.27654925) × R
    0.000184459999999997 × 6371000     		dl = 1175.19465999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.27673371-0.27654925) × R
    0.000184459999999997 × 6371000     		dr = 1175.19465999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50698065-0.50717240) × cos(0.27673371) × R
    0.000191749999999935 × 0.961952967819429 × 6371000     		do = 1175.1595021418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50698065-0.50717240) × cos(0.27654925) × R
    0.000191749999999935 × 0.96200334870996 × 6371000     		du = 1175.22104941513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.27673371)-sin(0.27654925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.961952967819429-0.96200334870996)×R²
    abs(0.50717240-0.50698065)×5.03808905306657e-05×R²
    0.000191749999999935×5.03808905306657e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.03808905306657e-05×40589641000000     		ar = 1381077.34049469m²