Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19026 / 14046
↖ ↑ ↗
← N 24.866502°
E 29.025879°		 ← 1 108.32 m → N 24.866502°
E 29.036865°		 →
↑
1 108.43 m
↓
↑
1 108.43 m
↓
N 24.856534°
E 29.025879°		 ← 1 108.41 m →
1 228 545 m²		 N 24.856534°
E 29.036865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580642700195312 y=0.428665161132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580642700195312 × 215)
    floor (0.580642700195312 × 32768)
    floor (19026.5)     		tx = 19026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.428665161132812 × 215)
    floor (0.428665161132812 × 32768)
    floor (14046.5)     		ty = 14046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19026 / 14046 ti = "15/19026/14046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19026/14046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19026 ÷ 215
    19026 ÷ 32768     		x = 0.58062744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14046 ÷ 215
    14046 ÷ 32768     		y = 0.42864990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58062744140625 × 2 - 1) × π
    0.1612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50659716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42864990234375 × 2 - 1) × π
    0.1427001953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.448305885246765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50659716} λ = 0.50659716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.448305885246765))-π/2
    2×atan(1.56565753395613)-π/2
    2×1.00239933466682-π/2
    2.00479866933364-1.57079632675     		φ = 0.43400234
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50659716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 29.025879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43400234 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.866502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19026 KachelY 14046 0.50659716 0.43400234 29.025879 24.866502
    Oben rechts KachelX + 1 19027 KachelY 14046 0.50678890 0.43400234 29.036865 24.866502
    Unten links KachelX 19026 KachelY + 1 14047 0.50659716 0.43382836 29.025879 24.856534
    Unten rechts KachelX + 1 19027 KachelY + 1 14047 0.50678890 0.43382836 29.036865 24.856534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43400234-0.43382836) × R
    0.000173979999999962 × 6371000     		dl = 1108.42657999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43400234-0.43382836) × R
    0.000173979999999962 × 6371000     		dr = 1108.42657999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50659716-0.50678890) × cos(0.43400234) × R
    0.000191739999999996 × 0.90729001521523 × 6371000     		do = 1108.32329027313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50659716-0.50678890) × cos(0.43382836) × R
    0.000191739999999996 × 0.90736316102058 × 6371000     		du = 1108.4126433998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43400234)-sin(0.43382836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90729001521523-0.90736316102058)×R²
    abs(0.50678890-0.50659716)×7.31458053494505e-05×R²
    0.000191739999999996×7.31458053494505e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.31458053494505e-05×40589641000000     		ar = 1228544.51796037m²