Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19021 / 15517
↖ ↑ ↗
← N  9.481572°
E 28.970947°		 ← 1 204.89 m → N  9.481572°
E 28.981933°		 →
↑
1 204.95 m
↓
↑
1 204.95 m
↓
N  9.470736°
E 28.970947°		 ← 1 204.93 m →
1 451 848 m²		 N  9.470736°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580490112304688 y=0.473556518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580490112304688 × 215)
    floor (0.580490112304688 × 32768)
    floor (19021.5)     		tx = 19021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473556518554688 × 215)
    floor (0.473556518554688 × 32768)
    floor (15517.5)     		ty = 15517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19021 / 15517 ti = "15/19021/15517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19021/15517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19021 ÷ 215
    19021 ÷ 32768     		x = 0.580474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15517 ÷ 215
    15517 ÷ 32768     		y = 0.473541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580474853515625 × 2 - 1) × π
    0.16094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50563842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.473541259765625 × 2 - 1) × π
    0.05291748046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.166245167882355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50563842} λ = 0.50563842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.166245167882355))-π/2
    2×atan(1.18086257581402)-π/2
    2×0.868140488970094-π/2
    1.73628097794019-1.57079632675     		φ = 0.16548465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50563842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16548465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.481572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19021 KachelY 15517 0.50563842 0.16548465 28.970947 9.481572
    Oben rechts KachelX + 1 19022 KachelY 15517 0.50583016 0.16548465 28.981933 9.481572
    Unten links KachelX 19021 KachelY + 1 15518 0.50563842 0.16529552 28.970947 9.470736
    Unten rechts KachelX + 1 19022 KachelY + 1 15518 0.50583016 0.16529552 28.981933 9.470736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16548465-0.16529552) × R
    0.00018913000000001 × 6371000     		dl = 1204.94723000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16548465-0.16529552) × R
    0.00018913000000001 × 6371000     		dr = 1204.94723000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.16548465) × R
    0.000191739999999996 × 0.986338634609507 × 6371000     		do = 1204.88715019594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.16529552) × R
    0.000191739999999996 × 0.986369772425222 × 6371000     		du = 1204.92518738999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16548465)-sin(0.16529552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.986338634609507-0.986369772425222)×R²
    abs(0.50583016-0.50563842)×3.11378157145104e-05×R²
    0.000191739999999996×3.11378157145104e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.11378157145104e-05×40589641000000     		ar = 1451848.3548249m²