Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19021 / 14196
↖ ↑ ↗
← N 23.362429°
E 28.970947°		 ← 1 121.42 m → N 23.362429°
E 28.981933°		 →
↑
1 121.49 m
↓
↑
1 121.49 m
↓
N 23.352343°
E 28.970947°		 ← 1 121.51 m →
1 257 711 m²		 N 23.352343°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580490112304688 y=0.433242797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580490112304688 × 215)
    floor (0.580490112304688 × 32768)
    floor (19021.5)     		tx = 19021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433242797851562 × 215)
    floor (0.433242797851562 × 32768)
    floor (14196.5)     		ty = 14196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19021 / 14196 ti = "15/19021/14196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19021/14196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19021 ÷ 215
    19021 ÷ 32768     		x = 0.580474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14196 ÷ 215
    14196 ÷ 32768     		y = 0.4332275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580474853515625 × 2 - 1) × π
    0.16094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50563842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4332275390625 × 2 - 1) × π
    0.133544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419543745474731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50563842} λ = 0.50563842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419543745474731))-π/2
    2×atan(1.5212673121595)-π/2
    2×0.98927381350047-π/2
    1.97854762700094-1.57079632675     		φ = 0.40775130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50563842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40775130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.362429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19021 KachelY 14196 0.50563842 0.40775130 28.970947 23.362429
    Oben rechts KachelX + 1 19022 KachelY 14196 0.50583016 0.40775130 28.981933 23.362429
    Unten links KachelX 19021 KachelY + 1 14197 0.50563842 0.40757527 28.970947 23.352343
    Unten rechts KachelX + 1 19022 KachelY + 1 14197 0.50583016 0.40757527 28.981933 23.352343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40775130-0.40757527) × R
    0.000176029999999994 × 6371000     		dl = 1121.48712999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40775130-0.40757527) × R
    0.000176029999999994 × 6371000     		dr = 1121.48712999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.40775130) × R
    0.000191739999999996 × 0.918014856077718 × 6371000     		do = 1121.42449354114m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.40757527) × R
    0.000191739999999996 × 0.918084645845323 × 6371000     		du = 1121.50974701418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40775130)-sin(0.40757527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918014856077718-0.918084645845323)×R²
    abs(0.50583016-0.50563842)×6.97897676049664e-05×R²
    0.000191739999999996×6.97897676049664e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.97897676049664e-05×40589641000000     		ar = 1257710.94535716m²