Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19021 / 14194
↖ ↑ ↗
← N 23.382598°
E 28.970947°		 ← 1 121.25 m → N 23.382598°
E 28.981933°		 →
↑
1 121.36 m
↓
↑
1 121.36 m
↓
N 23.372514°
E 28.970947°		 ← 1 121.34 m →
1 257 377 m²		 N 23.372514°
E 28.981933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580490112304688 y=0.433181762695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580490112304688 × 215)
    floor (0.580490112304688 × 32768)
    floor (19021.5)     		tx = 19021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433181762695312 × 215)
    floor (0.433181762695312 × 32768)
    floor (14194.5)     		ty = 14194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19021 / 14194 ti = "15/19021/14194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19021/14194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19021 ÷ 215
    19021 ÷ 32768     		x = 0.580474853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14194 ÷ 215
    14194 ÷ 32768     		y = 0.43316650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580474853515625 × 2 - 1) × π
    0.16094970703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50563842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43316650390625 × 2 - 1) × π
    0.1336669921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.419927240671692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50563842} λ = 0.50563842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.419927240671692))-π/2
    2×atan(1.52185082274661)-π/2
    2×0.989449827256989-π/2
    1.97889965451398-1.57079632675     		φ = 0.40810333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50563842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.970947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40810333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.382598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19021 KachelY 14194 0.50563842 0.40810333 28.970947 23.382598
    Oben rechts KachelX + 1 19022 KachelY 14194 0.50583016 0.40810333 28.981933 23.382598
    Unten links KachelX 19021 KachelY + 1 14195 0.50563842 0.40792732 28.970947 23.372514
    Unten rechts KachelX + 1 19022 KachelY + 1 14195 0.50583016 0.40792732 28.981933 23.372514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40810333-0.40792732) × R
    0.000176010000000004 × 6371000     		dl = 1121.35971000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40810333-0.40792732) × R
    0.000176010000000004 × 6371000     		dr = 1121.35971000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.40810333) × R
    0.000191739999999996 × 0.917875203112376 × 6371000     		do = 1121.25389689459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50563842-0.50583016) × cos(0.40792732) × R
    0.000191739999999996 × 0.917945041831065 × 6371000     		du = 1121.33921016508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40810333)-sin(0.40792732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917875203112376-0.917945041831065)×R²
    abs(0.50583016-0.50563842)×6.98387186892635e-05×R²
    0.000191739999999996×6.98387186892635e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.98387186892635e-05×40589641000000     		ar = 1257376.7813361m²