Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19019 / 15430
↖ ↑ ↗
← N 10.422989°
E 28.948974°		 ← 1 201.48 m → N 10.422989°
E 28.959961°		 →
↑
1 201.51 m
↓
↑
1 201.51 m
↓
N 10.412183°
E 28.948974°		 ← 1 201.52 m →
1 443 613 m²		 N 10.412183°
E 28.959961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580429077148438 y=0.470901489257812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580429077148438 × 215)
    floor (0.580429077148438 × 32768)
    floor (19019.5)     		tx = 19019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470901489257812 × 215)
    floor (0.470901489257812 × 32768)
    floor (15430.5)     		ty = 15430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19019 / 15430 ti = "15/19019/15430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19019/15430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19019 ÷ 215
    19019 ÷ 32768     		x = 0.580413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15430 ÷ 215
    15430 ÷ 32768     		y = 0.47088623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580413818359375 × 2 - 1) × π
    0.16082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50525492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47088623046875 × 2 - 1) × π
    0.0582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.182927208950134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50525492} λ = 0.50525492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182927208950134))-π/2
    2×atan(1.20072700272058)-π/2
    2×0.876355896031697-π/2
    1.75271179206339-1.57079632675     		φ = 0.18191547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50525492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.948974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18191547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.422989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19019 KachelY 15430 0.50525492 0.18191547 28.948974 10.422989
    Oben rechts KachelX + 1 19020 KachelY 15430 0.50544667 0.18191547 28.959961 10.422989
    Unten links KachelX 19019 KachelY + 1 15431 0.50525492 0.18172688 28.948974 10.412183
    Unten rechts KachelX + 1 19020 KachelY + 1 15431 0.50544667 0.18172688 28.959961 10.412183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18191547-0.18172688) × R
    0.000188589999999988 × 6371000     		dl = 1201.50688999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18191547-0.18172688) × R
    0.000188589999999988 × 6371000     		dr = 1201.50688999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50525492-0.50544667) × cos(0.18191547) × R
    0.000191749999999935 × 0.983498962347653 × 6371000     		do = 1201.48093473776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50525492-0.50544667) × cos(0.18172688) × R
    0.000191749999999935 × 0.9835330633851 × 6371000     		du = 1201.52259390357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18191547)-sin(0.18172688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983498962347653-0.9835330633851)×R²
    abs(0.50544667-0.50525492)×3.4101037446721e-05×R²
    0.000191749999999935×3.4101037446721e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.4101037446721e-05×40589641000000     		ar = 1443612.65245706m²