Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19018 / 14201
↖ ↑ ↗
← N 23.311991°
E 28.937988°		 ← 1 121.91 m → N 23.311991°
E 28.948974°		 →
↑
1 121.93 m
↓
↑
1 121.93 m
↓
N 23.301901°
E 28.937988°		 ← 1 121.99 m →
1 258 755 m²		 N 23.301901°
E 28.948974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580398559570312 y=0.433395385742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580398559570312 × 215)
    floor (0.580398559570312 × 32768)
    floor (19018.5)     		tx = 19018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433395385742188 × 215)
    floor (0.433395385742188 × 32768)
    floor (14201.5)     		ty = 14201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19018 / 14201 ti = "15/19018/14201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19018/14201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19018 ÷ 215
    19018 ÷ 32768     		x = 0.58038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14201 ÷ 215
    14201 ÷ 32768     		y = 0.433380126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.58038330078125 × 2 - 1) × π
    0.1607666015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50506317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433380126953125 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.41858500748233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50506317} λ = 0.50506317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.41858500748233))-π/2
    2×atan(1.51980951432549)-π/2
    2×0.988833662033379-π/2
    1.97766732406676-1.57079632675     		φ = 0.40687100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50506317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.937988°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40687100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.311991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19018 KachelY 14201 0.50506317 0.40687100 28.937988 23.311991
    Oben rechts KachelX + 1 19019 KachelY 14201 0.50525492 0.40687100 28.948974 23.311991
    Unten links KachelX 19018 KachelY + 1 14202 0.50506317 0.40669490 28.937988 23.301901
    Unten rechts KachelX + 1 19019 KachelY + 1 14202 0.50525492 0.40669490 28.948974 23.301901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40687100-0.40669490) × R
    0.000176099999999957 × 6371000     		dl = 1121.93309999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40687100-0.40669490) × R
    0.000176099999999957 × 6371000     		dr = 1121.93309999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50506317-0.50525492) × cos(0.40687100) × R
    0.000191750000000046 × 0.91836357977194 × 6371000     		do = 1121.90899482018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50506317-0.50525492) × cos(0.40669490) × R
    0.000191750000000046 × 0.91843325494258 × 6371000     		du = 1121.99411274338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40687100)-sin(0.40669490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91836357977194-0.91843325494258)×R²
    abs(0.50525492-0.50506317)×6.96751706396048e-05×R²
    0.000191750000000046×6.96751706396048e-05×6371000²
    0.000191750000000046×6.96751706396048e-05×40589641000000     		ar = 1258754.58803696m²