Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19016 / 15435
↖ ↑ ↗
← N 10.368959°
E 28.916016°		 ← 1 201.69 m → N 10.368959°
E 28.927002°		 →
↑
1 201.70 m
↓
↑
1 201.70 m
↓
N 10.358152°
E 28.916016°		 ← 1 201.73 m →
1 444 092 m²		 N 10.358152°
E 28.927002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580337524414062 y=0.471054077148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580337524414062 × 215)
    floor (0.580337524414062 × 32768)
    floor (19016.5)     		tx = 19016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471054077148438 × 215)
    floor (0.471054077148438 × 32768)
    floor (15435.5)     		ty = 15435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19016 / 15435 ti = "15/19016/15435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19016/15435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19016 ÷ 215
    19016 ÷ 32768     		x = 0.580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15435 ÷ 215
    15435 ÷ 32768     		y = 0.471038818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50467968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471038818359375 × 2 - 1) × π
    0.05792236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.181968470957733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50467968} λ = 0.50467968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181968470957733))-π/2
    2×atan(1.1995763717895)-π/2
    2×0.875884396301441-π/2
    1.75176879260288-1.57079632675     		φ = 0.18097247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50467968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.916016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18097247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.368959°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19016 KachelY 15435 0.50467968 0.18097247 28.916016 10.368959
    Oben rechts KachelX + 1 19017 KachelY 15435 0.50487143 0.18097247 28.927002 10.368959
    Unten links KachelX 19016 KachelY + 1 15436 0.50467968 0.18078385 28.916016 10.358152
    Unten rechts KachelX + 1 19017 KachelY + 1 15436 0.50487143 0.18078385 28.927002 10.358152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18097247-0.18078385) × R
    0.00018862 × 6371000     		dl = 1201.69802m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18097247-0.18078385) × R
    0.00018862 × 6371000     		dr = 1201.69802m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50467968-0.50487143) × cos(0.18097247) × R
    0.000191750000000046 × 0.983669126716872 × 6371000     		do = 1201.68881421084m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50467968-0.50487143) × cos(0.18078385) × R
    0.000191750000000046 × 0.983703058224352 × 6371000     		du = 1201.73026627219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18097247)-sin(0.18078385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983669126716872-0.983703058224352)×R²
    abs(0.50487143-0.50467968)×3.39315074798785e-05×R²
    0.000191750000000046×3.39315074798785e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.39315074798785e-05×40589641000000     		ar = 1444091.97940493m²