Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19016 / 15384
↖ ↑ ↗
← N 10.919618°
E 28.916016°		 ← 1 199.52 m → N 10.919618°
E 28.927002°		 →
↑
1 199.53 m
↓
↑
1 199.53 m
↓
N 10.908830°
E 28.916016°		 ← 1 199.56 m →
1 438 889 m²		 N 10.908830°
E 28.927002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580337524414062 y=0.469497680664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580337524414062 × 215)
    floor (0.580337524414062 × 32768)
    floor (19016.5)     		tx = 19016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469497680664062 × 215)
    floor (0.469497680664062 × 32768)
    floor (15384.5)     		ty = 15384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19016 / 15384 ti = "15/19016/15384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19016/15384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19016 ÷ 215
    19016 ÷ 32768     		x = 0.580322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15384 ÷ 215
    15384 ÷ 32768     		y = 0.469482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580322265625 × 2 - 1) × π
    0.16064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50467968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469482421875 × 2 - 1) × π
    0.06103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.191747598480225
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50467968} λ = 0.50467968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.191747598480225))-π/2
    2×atan(1.21136472807736)-π/2
    2×0.880689804882604-π/2
    1.76137960976521-1.57079632675     		φ = 0.19058328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50467968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.916016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19058328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.919618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19016 KachelY 15384 0.50467968 0.19058328 28.916016 10.919618
    Oben rechts KachelX + 1 19017 KachelY 15384 0.50487143 0.19058328 28.927002 10.919618
    Unten links KachelX 19016 KachelY + 1 15385 0.50467968 0.19039500 28.916016 10.908830
    Unten rechts KachelX + 1 19017 KachelY + 1 15385 0.50487143 0.19039500 28.927002 10.908830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19058328-0.19039500) × R
    0.000188279999999985 × 6371000     		dl = 1199.53187999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19058328-0.19039500) × R
    0.000188279999999985 × 6371000     		dr = 1199.53187999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50467968-0.50487143) × cos(0.19058328) × R
    0.000191750000000046 × 0.9818939104607 × 6371000     		do = 1199.52014035506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50467968-0.50487143) × cos(0.19039500) × R
    0.000191750000000046 × 0.98192955924709 × 6371000     		du = 1199.56369031173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19058328)-sin(0.19039500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9818939104607-0.98192955924709)×R²
    abs(0.50487143-0.50467968)×3.56487863903965e-05×R²
    0.000191750000000046×3.56487863903965e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.56487863903965e-05×40589641000000     		ar = 1438888.77308918m²