Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19013 / 15433
↖ ↑ ↗
← N 10.390572°
E 28.883057°		 ← 1 201.54 m → N 10.390572°
E 28.894043°		 →
↑
1 201.63 m
↓
↑
1 201.63 m
↓
N 10.379765°
E 28.883057°		 ← 1 201.58 m →
1 443 840 m²		 N 10.379765°
E 28.894043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580245971679688 y=0.470993041992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580245971679688 × 215)
    floor (0.580245971679688 × 32768)
    floor (19013.5)     		tx = 19013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470993041992188 × 215)
    floor (0.470993041992188 × 32768)
    floor (15433.5)     		ty = 15433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19013 / 15433 ti = "15/19013/15433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19013/15433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19013 ÷ 215
    19013 ÷ 32768     		x = 0.580230712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15433 ÷ 215
    15433 ÷ 32768     		y = 0.470977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580230712890625 × 2 - 1) × π
    0.16046142578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50410444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470977783203125 × 2 - 1) × π
    0.05804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.182351966154694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50410444} λ = 0.50410444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.182351966154694))-π/2
    2×atan(1.20003649178773)-π/2
    2×0.8760730059805-π/2
    1.752146011961-1.57079632675     		φ = 0.18134969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50410444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.883057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18134969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.390572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19013 KachelY 15433 0.50410444 0.18134969 28.883057 10.390572
    Oben rechts KachelX + 1 19014 KachelY 15433 0.50429618 0.18134969 28.894043 10.390572
    Unten links KachelX 19013 KachelY + 1 15434 0.50410444 0.18116108 28.883057 10.379765
    Unten rechts KachelX + 1 19014 KachelY + 1 15434 0.50429618 0.18116108 28.894043 10.379765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18134969-0.18116108) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dl = 1201.63431000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18134969-0.18116108) × R
    0.000188610000000006 × 6371000     		dr = 1201.63431000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50410444-0.50429618) × cos(0.18134969) × R
    0.000191739999999996 × 0.983601162320789 × 6371000     		do = 1201.54312100662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50410444-0.50429618) × cos(0.18116108) × R
    0.000191739999999996 × 0.983635162014618 × 6371000     		du = 1201.58465420097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18134969)-sin(0.18116108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983601162320789-0.983635162014618)×R²
    abs(0.50429618-0.50410444)×3.39996938283349e-05×R²
    0.000191739999999996×3.39996938283349e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.39996938283349e-05×40589641000000     		ar = 1443840.3972818m²