Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1901 / 1803
↖ ↑ ↗
← N 70.451509°
W 96.459961°		 ← 1 635.04 m → N 70.451509°
W 96.416015°		 →
↑
1 635.69 m
↓
↑
1 635.69 m
↓
N 70.436799°
W 96.459961°		 ← 1 636.22 m →
2 675 391 m²		 N 70.436799°
W 96.416015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.23211669921875 y=0.22015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.23211669921875 × 213)
    floor (0.23211669921875 × 8192)
    floor (1901.5)     		tx = 1901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.22015380859375 × 213)
    floor (0.22015380859375 × 8192)
    floor (1803.5)     		ty = 1803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1901 / 1803 ti = "13/1901/1803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1901/1803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1901 ÷ 213
    1901 ÷ 8192     		x = 0.2320556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1803 ÷ 213
    1803 ÷ 8192     		y = 0.2200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.535888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.68354391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2200927734375 × 2 - 1) × π
    0.559814453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.75870897326062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.68354391} λ = -1.68354391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75870897326062))-π/2
    2×atan(5.8049382241617)-π/2
    2×1.4002035559774-π/2
    2.8004071119548-1.57079632675     		φ = 1.22961079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.68354391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -96.459961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22961079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.451509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1901 KachelY 1803 -1.68354391 1.22961079 -96.459961 70.451509
    Oben rechts KachelX + 1 1902 KachelY 1803 -1.68277692 1.22961079 -96.416015 70.451509
    Unten links KachelX 1901 KachelY + 1 1804 -1.68354391 1.22935405 -96.459961 70.436799
    Unten rechts KachelX + 1 1902 KachelY + 1 1804 -1.68277692 1.22935405 -96.416015 70.436799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22961079-1.22935405) × R
    0.000256739999999978 × 6371000     		dl = 1635.69053999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22961079-1.22935405) × R
    0.000256739999999978 × 6371000     		dr = 1635.69053999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.68354391--1.68277692) × cos(1.22961079) × R
    0.000766990000000023 × 0.334604527865937 × 6371000     		do = 1635.04278022057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.68354391--1.68277692) × cos(1.22935405) × R
    0.000766990000000023 × 0.334846457993195 × 6371000     		du = 1636.22497016407m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22961079)-sin(1.22935405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334604527865937-0.334846457993195)×R²
    abs(-1.68277692--1.68354391)×0.000241930127258871×R²
    0.000766990000000023×0.000241930127258871×6371000²
    0.000766990000000023×0.000241930127258871×40589641000000     		ar = 2675390.87125197m²