Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1901 / 1265
↖ ↑ ↗
← N 56.511018°
W 12.919922°		 ← 5 392.51 m → N 56.511018°
W 12.832032°		 →
↑
5 395.98 m
↓
↑
5 395.98 m
↓
N 56.462490°
W 12.919922°		 ← 5 399.41 m →
29 116 485 m²		 N 56.462490°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4642333984375 y=0.3089599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4642333984375 × 212)
    floor (0.4642333984375 × 4096)
    floor (1901.5)     		tx = 1901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3089599609375 × 212)
    floor (0.3089599609375 × 4096)
    floor (1265.5)     		ty = 1265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1901 / 1265 ti = "12/1901/1265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1901/1265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1901 ÷ 212
    1901 ÷ 4096     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1265 ÷ 212
    1265 ÷ 4096     		y = 0.308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.308837890625 × 2 - 1) × π
    0.38232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.20110695688013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.20110695688013))-π/2
    2×atan(3.32379418391628)-π/2
    2×1.27854982294476-π/2
    2.55709964588952-1.57079632675     		φ = 0.98630332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.98630332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.511018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1901 KachelY 1265 -0.22549518 0.98630332 -12.919922 56.511018
    Oben rechts KachelX + 1 1902 KachelY 1265 -0.22396120 0.98630332 -12.832032 56.511018
    Unten links KachelX 1901 KachelY + 1 1266 -0.22549518 0.98545636 -12.919922 56.462490
    Unten rechts KachelX + 1 1902 KachelY + 1 1266 -0.22396120 0.98545636 -12.832032 56.462490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.98630332-0.98545636) × R
    0.000846959999999952 × 6371000     		dl = 5395.9821599997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.98630332-0.98545636) × R
    0.000846959999999952 × 6371000     		dr = 5395.9821599997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(0.98630332) × R
    0.00153397999999999 × 0.551776625016533 × 6371000     		do = 5392.50555144423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(0.98545636) × R
    0.00153397999999999 × 0.552482784839583 × 6371000     		du = 5399.40684191824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.98630332)-sin(0.98545636))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.551776625016533-0.552482784839583)×R²
    abs(-0.22396120--0.22549518)×0.000706159823050667×R²
    0.00153397999999999×0.000706159823050667×6371000²
    0.00153397999999999×0.000706159823050667×40589641000000     		ar = 29116485.1139705m²