Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1901 / 1026
↖ ↑ ↗
← N 66.443106°
W 12.919922°		 ← 3 905.87 m → N 66.443106°
W 12.832032°		 →
↑
3 908.61 m
↓
↑
3 908.61 m
↓
N 66.407955°
W 12.919922°		 ← 3 911.36 m →
15 277 245 m²		 N 66.407955°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4642333984375 y=0.2506103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4642333984375 × 212)
    floor (0.4642333984375 × 4096)
    floor (1901.5)     		tx = 1901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2506103515625 × 212)
    floor (0.2506103515625 × 4096)
    floor (1026.5)     		ty = 1026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1901 / 1026 ti = "12/1901/1026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1901/1026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1901 ÷ 212
    1901 ÷ 4096     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1026 ÷ 212
    1026 ÷ 4096     		y = 0.25048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25048828125 × 2 - 1) × π
    0.4990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.56772836517432
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.56772836517432))-π/2
    2×atan(4.79574163689073)-π/2
    2×1.36522365029887-π/2
    2.73044730059773-1.57079632675     		φ = 1.15965097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15965097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.443106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1901 KachelY 1026 -0.22549518 1.15965097 -12.919922 66.443106
    Oben rechts KachelX + 1 1902 KachelY 1026 -0.22396120 1.15965097 -12.832032 66.443106
    Unten links KachelX 1901 KachelY + 1 1027 -0.22549518 1.15903747 -12.919922 66.407955
    Unten rechts KachelX + 1 1902 KachelY + 1 1027 -0.22396120 1.15903747 -12.832032 66.407955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15965097-1.15903747) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dl = 3908.60850000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15965097-1.15903747) × R
    0.000613500000000045 × 6371000     		dr = 3908.60850000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(1.15965097) × R
    0.00153397999999999 × 0.399659496864673 × 6371000     		do = 3905.86689942797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(1.15903747) × R
    0.00153397999999999 × 0.400221794779465 × 6371000     		du = 3911.3622294032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15965097)-sin(1.15903747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399659496864673-0.400221794779465)×R²
    abs(-0.22396120--0.22549518)×0.000562297914792009×R²
    0.00153397999999999×0.000562297914792009×6371000²
    0.00153397999999999×0.000562297914792009×40589641000000     		ar = 15277244.5888782m²