Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1901 / 1021
↖ ↑ ↗
← N 66.618122°
W 12.919922°		 ← 3 878.48 m → N 66.618122°
W 12.832032°		 →
↑
3 881.21 m
↓
↑
3 881.21 m
↓
N 66.583217°
W 12.919922°		 ← 3 883.95 m →
15 063 827 m²		 N 66.583217°
W 12.832032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1021 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4642333984375 y=0.2493896484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4642333984375 × 212)
    floor (0.4642333984375 × 4096)
    floor (1901.5)     		tx = 1901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2493896484375 × 212)
    floor (0.2493896484375 × 4096)
    floor (1021.5)     		ty = 1021
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1901 / 1021 ti = "12/1901/1021"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1901/1021.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1901 ÷ 212
    1901 ÷ 4096     		x = 0.464111328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1021 ÷ 212
    1021 ÷ 4096     		y = 0.249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.464111328125 × 2 - 1) × π
    -0.07177734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.22549518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.249267578125 × 2 - 1) × π
    0.50146484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.57539826911353
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22549518} λ = -0.22549518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57539826911353))-π/2
    2×atan(4.83266593646504)-π/2
    2×1.36675094757967-π/2
    2.73350189515934-1.57079632675     		φ = 1.16270557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22549518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -12.919922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16270557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.618122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1901 KachelY 1021 -0.22549518 1.16270557 -12.919922 66.618122
    Oben rechts KachelX + 1 1902 KachelY 1021 -0.22396120 1.16270557 -12.832032 66.618122
    Unten links KachelX 1901 KachelY + 1 1022 -0.22549518 1.16209637 -12.919922 66.583217
    Unten rechts KachelX + 1 1902 KachelY + 1 1022 -0.22396120 1.16209637 -12.832032 66.583217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16270557-1.16209637) × R
    0.000609199999999976 × 6371000     		dl = 3881.21319999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16270557-1.16209637) × R
    0.000609199999999976 × 6371000     		dr = 3881.21319999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(1.16270557) × R
    0.00153397999999999 × 0.396857595841942 × 6371000     		do = 3878.48395833434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22549518--0.22396120) × cos(1.16209637) × R
    0.00153397999999999 × 0.39741669477909 × 6371000     		du = 3883.94802474398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16270557)-sin(1.16209637))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396857595841942-0.39741669477909)×R²
    abs(-0.22396120--0.22549518)×0.000559098937148284×R²
    0.00153397999999999×0.000559098937148284×6371000²
    0.00153397999999999×0.000559098937148284×40589641000000     		ar = 15063827.2042929m²