Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19008 / 15425
↖ ↑ ↗
← N 10.477009°
E 28.828125°		 ← 1 201.27 m → N 10.477009°
E 28.839112°		 →
↑
1 201.25 m
↓
↑
1 201.25 m
↓
N 10.466206°
E 28.828125°		 ← 1 201.31 m →
1 443 056 m²		 N 10.466206°
E 28.839112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580093383789062 y=0.470748901367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580093383789062 × 215)
    floor (0.580093383789062 × 32768)
    floor (19008.5)     		tx = 19008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470748901367188 × 215)
    floor (0.470748901367188 × 32768)
    floor (15425.5)     		ty = 15425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19008 / 15425 ti = "15/19008/15425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19008/15425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19008 ÷ 215
    19008 ÷ 32768     		x = 0.580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15425 ÷ 215
    15425 ÷ 32768     		y = 0.470733642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.580078125 × 2 - 1) × π
    0.16015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50314570
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470733642578125 × 2 - 1) × π
    0.05853271484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.183885946942535
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50314570} λ = 0.50314570}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.183885946942535))-π/2
    2×atan(1.20187873733423)-π/2
    2×0.876827313987955-π/2
    1.75365462797591-1.57079632675     		φ = 0.18285830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50314570} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.828125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18285830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.477009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19008 KachelY 15425 0.50314570 0.18285830 28.828125 10.477009
    Oben rechts KachelX + 1 19009 KachelY 15425 0.50333745 0.18285830 28.839112 10.477009
    Unten links KachelX 19008 KachelY + 1 15426 0.50314570 0.18266975 28.828125 10.466206
    Unten rechts KachelX + 1 19009 KachelY + 1 15426 0.50333745 0.18266975 28.839112 10.466206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18285830-0.18266975) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dl = 1201.25205000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18285830-0.18266975) × R
    0.00018855000000001 × 6371000     		dr = 1201.25205000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50314570-0.50333745) × cos(0.18285830) × R
    0.000191749999999935 × 0.983327954316008 × 6371000     		do = 1201.27202461424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50314570-0.50333745) × cos(0.18266975) × R
    0.000191749999999935 × 0.983362222949371 × 6371000     		du = 1201.3138885218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18285830)-sin(0.18266975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983327954316008-0.983362222949371)×R²
    abs(0.50333745-0.50314570)×3.42686333631992e-05×R²
    0.000191749999999935×3.42686333631992e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.42686333631992e-05×40589641000000     		ar = 1443055.6310032m²