Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 19005 / 14689
↖ ↑ ↗
← N 18.302380°
E 28.795166°		 ← 1 159.78 m → N 18.302380°
E 28.806152°		 →
↑
1 159.84 m
↓
↑
1 159.84 m
↓
N 18.291950°
E 28.795166°		 ← 1 159.85 m →
1 345 199 m²		 N 18.291950°
E 28.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14689 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580001831054688 y=0.448287963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580001831054688 × 215)
    floor (0.580001831054688 × 32768)
    floor (19005.5)     		tx = 19005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448287963867188 × 215)
    floor (0.448287963867188 × 32768)
    floor (14689.5)     		ty = 14689
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19005 / 14689 ti = "15/19005/14689"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19005/14689.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19005 ÷ 215
    19005 ÷ 32768     		x = 0.579986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14689 ÷ 215
    14689 ÷ 32768     		y = 0.448272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579986572265625 × 2 - 1) × π
    0.15997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50257046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.448272705078125 × 2 - 1) × π
    0.10345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.325012179423981
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50257046} λ = 0.50257046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325012179423981))-π/2
    2×atan(1.38404750277944)-π/2
    2×0.945116564639732-π/2
    1.89023312927946-1.57079632675     		φ = 0.31943680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50257046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.795166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31943680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.302380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19005 KachelY 14689 0.50257046 0.31943680 28.795166 18.302380
    Oben rechts KachelX + 1 19006 KachelY 14689 0.50276220 0.31943680 28.806152 18.302380
    Unten links KachelX 19005 KachelY + 1 14690 0.50257046 0.31925475 28.795166 18.291950
    Unten rechts KachelX + 1 19006 KachelY + 1 14690 0.50276220 0.31925475 28.806152 18.291950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31943680-0.31925475) × R
    0.000182050000000045 × 6371000     		dl = 1159.84055000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31943680-0.31925475) × R
    0.000182050000000045 × 6371000     		dr = 1159.84055000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50257046-0.50276220) × cos(0.31943680) × R
    0.000191739999999996 × 0.949412431414014 × 6371000     		do = 1159.77900358726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50257046-0.50276220) × cos(0.31925475) × R
    0.000191739999999996 × 0.949469585188533 × 6371000     		du = 1159.84882124023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31943680)-sin(0.31925475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949412431414014-0.949469585188533)×R²
    abs(0.50276220-0.50257046)×5.71537745187589e-05×R²
    0.000191739999999996×5.71537745187589e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.71537745187589e-05×40589641000000     		ar = 1345199.20978752m²