Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19005 / 13625
↖ ↑ ↗
← N 28.988922°
E 28.795166°		 ← 1 068.53 m → N 28.988922°
E 28.806152°		 →
↑
1 068.61 m
↓
↑
1 068.61 m
↓
N 28.979312°
E 28.795166°		 ← 1 068.63 m →
1 141 891 m²		 N 28.979312°
E 28.806152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.580001831054688 y=0.415817260742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.580001831054688 × 215)
    floor (0.580001831054688 × 32768)
    floor (19005.5)     		tx = 19005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415817260742188 × 215)
    floor (0.415817260742188 × 32768)
    floor (13625.5)     		ty = 13625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19005 / 13625 ti = "15/19005/13625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19005/13625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19005 ÷ 215
    19005 ÷ 32768     		x = 0.579986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13625 ÷ 215
    13625 ÷ 32768     		y = 0.415802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579986572265625 × 2 - 1) × π
    0.15997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50257046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415802001953125 × 2 - 1) × π
    0.16839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.52903162420694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50257046} λ = 0.50257046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52903162420694))-π/2
    2×atan(1.69728790002808)-π/2
    2×1.03837423438822-π/2
    2.07674846877644-1.57079632675     		φ = 0.50595214
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50257046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.795166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50595214 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.988922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19005 KachelY 13625 0.50257046 0.50595214 28.795166 28.988922
    Oben rechts KachelX + 1 19006 KachelY 13625 0.50276220 0.50595214 28.806152 28.988922
    Unten links KachelX 19005 KachelY + 1 13626 0.50257046 0.50578441 28.795166 28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 19006 KachelY + 1 13626 0.50276220 0.50578441 28.806152 28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50595214-0.50578441) × R
    0.000167730000000033 × 6371000     		dl = 1068.60783000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50595214-0.50578441) × R
    0.000167730000000033 × 6371000     		dr = 1068.60783000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50257046-0.50276220) × cos(0.50595214) × R
    0.000191739999999996 × 0.874713425375888 × 6371000     		do = 1068.52852494878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50257046-0.50276220) × cos(0.50578441) × R
    0.000191739999999996 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 1068.6278102696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50595214)-sin(0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874713425375888-0.874794701823858)×R²
    abs(0.50276220-0.50257046)×8.12764479698469e-05×R²
    0.000191739999999996×8.12764479698469e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.12764479698469e-05×40589641000000     		ar = 1141890.99955181m²