Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19004 / 15500
↖ ↑ ↗
← N  9.665738°
E 28.784180°		 ← 1 204.30 m → N  9.665738°
E 28.795166°		 →
↑
1 204.31 m
↓
↑
1 204.31 m
↓
N  9.654908°
E 28.784180°		 ← 1 204.34 m →
1 450 370 m²		 N  9.654908°
E 28.795166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579971313476562 y=0.473037719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579971313476562 × 215)
    floor (0.579971313476562 × 32768)
    floor (19004.5)     		tx = 19004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.473037719726562 × 215)
    floor (0.473037719726562 × 32768)
    floor (15500.5)     		ty = 15500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19004 / 15500 ti = "15/19004/15500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19004/15500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19004 ÷ 215
    19004 ÷ 32768     		x = 0.5799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15500 ÷ 215
    15500 ÷ 32768     		y = 0.4730224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5799560546875 × 2 - 1) × π
    0.159912109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.50237871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4730224609375 × 2 - 1) × π
    0.053955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.169504877056519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50237871} λ = 0.50237871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.169504877056519))-π/2
    2×atan(1.18471812495629)-π/2
    2×0.869747643211298-π/2
    1.7394952864226-1.57079632675     		φ = 0.16869896
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50237871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.784180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.16869896 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 9.665738°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19004 KachelY 15500 0.50237871 0.16869896 28.784180 9.665738
    Oben rechts KachelX + 1 19005 KachelY 15500 0.50257046 0.16869896 28.795166 9.665738
    Unten links KachelX 19004 KachelY + 1 15501 0.50237871 0.16850993 28.784180 9.654908
    Unten rechts KachelX + 1 19005 KachelY + 1 15501 0.50257046 0.16850993 28.795166 9.654908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.16869896-0.16850993) × R
    0.000189030000000007 × 6371000     		dl = 1204.31013000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.16869896-0.16850993) × R
    0.000189030000000007 × 6371000     		dr = 1204.31013000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50237871-0.50257046) × cos(0.16869896) × R
    0.000191750000000046 × 0.985804045698839 × 6371000     		do = 1204.29691503478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50237871-0.50257046) × cos(0.16850993) × R
    0.000191750000000046 × 0.98583576620818 × 6371000     		du = 1204.33566605403m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.16869896)-sin(0.16850993))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.985804045698839-0.98583576620818)×R²
    abs(0.50257046-0.50237871)×3.17205093413042e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17205093413042e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17205093413042e-05×40589641000000     		ar = 1450370.31274541m²