Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19002 / 13627
↖ ↑ ↗
← N 28.969701°
E 28.762207°		 ← 1 068.78 m → N 28.969701°
E 28.773193°		 →
↑
1 068.80 m
↓
↑
1 068.80 m
↓
N 28.960089°
E 28.762207°		 ← 1 068.88 m →
1 142 367 m²		 N 28.960089°
E 28.773193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579910278320312 y=0.415878295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579910278320312 × 215)
    floor (0.579910278320312 × 32768)
    floor (19002.5)     		tx = 19002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415878295898438 × 215)
    floor (0.415878295898438 × 32768)
    floor (13627.5)     		ty = 13627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19002 / 13627 ti = "15/19002/13627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19002/13627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19002 ÷ 215
    19002 ÷ 32768     		x = 0.57989501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13627 ÷ 215
    13627 ÷ 32768     		y = 0.415863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57989501953125 × 2 - 1) × π
    0.1597900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50199521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415863037109375 × 2 - 1) × π
    0.16827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.528648129009979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50199521} λ = 0.50199521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528648129009979))-π/2
    2×atan(1.69663712306345)-π/2
    2×1.03820649460553-π/2
    2.07641298921105-1.57079632675     		φ = 0.50561666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50199521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.762207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50561666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.969701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19002 KachelY 13627 0.50199521 0.50561666 28.762207 28.969701
    Oben rechts KachelX + 1 19003 KachelY 13627 0.50218696 0.50561666 28.773193 28.969701
    Unten links KachelX 19002 KachelY + 1 13628 0.50199521 0.50544890 28.762207 28.960089
    Unten rechts KachelX + 1 19003 KachelY + 1 13628 0.50218696 0.50544890 28.773193 28.960089
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50561666-0.50544890) × R
    0.000167760000000072 × 6371000     		dl = 1068.79896000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50561666-0.50544890) × R
    0.000167760000000072 × 6371000     		dr = 1068.79896000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50199521-0.50218696) × cos(0.50561666) × R
    0.000191749999999935 × 0.874875963347861 × 6371000     		do = 1068.78281570695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50199521-0.50218696) × cos(0.50544890) × R
    0.000191749999999935 × 0.874957205094802 × 6371000     		du = 1068.88206381375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50561666)-sin(0.50544890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874875963347861-0.874957205094802)×R²
    abs(0.50218696-0.50199521)×8.12417469410187e-05×R²
    0.000191749999999935×8.12417469410187e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.12417469410187e-05×40589641000000     		ar = 1142367.00270967m²