Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19001 / 13626
↖ ↑ ↗
← N 28.979312°
E 28.751221°		 ← 1 068.63 m → N 28.979312°
E 28.762207°		 →
↑
1 068.74 m
↓
↑
1 068.74 m
↓
N 28.969701°
E 28.751221°		 ← 1 068.73 m →
1 142 133 m²		 N 28.969701°
E 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13626 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579879760742188 y=0.415847778320312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579879760742188 × 215)
    floor (0.579879760742188 × 32768)
    floor (19001.5)     		tx = 19001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415847778320312 × 215)
    floor (0.415847778320312 × 32768)
    floor (13626.5)     		ty = 13626
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19001 / 13626 ti = "15/19001/13626"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19001/13626.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19001 ÷ 215
    19001 ÷ 32768     		x = 0.579864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13626 ÷ 215
    13626 ÷ 32768     		y = 0.41583251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579864501953125 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41583251953125 × 2 - 1) × π
    0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50180347} λ = 0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528839876608459))-π/2
    2×atan(1.69696248034953)-π/2
    2×1.03829036839265-π/2
    2.0765807367853-1.57079632675     		φ = 0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19001 KachelY 13626 0.50180347 0.50578441 28.751221 28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 19002 KachelY 13626 0.50199521 0.50578441 28.762207 28.979312
    Unten links KachelX 19001 KachelY + 1 13627 0.50180347 0.50561666 28.751221 28.969701
    Unten rechts KachelX + 1 19002 KachelY + 1 13627 0.50199521 0.50561666 28.762207 28.969701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50578441-0.50561666) × R
    0.000167749999999911 × 6371000     		dl = 1068.73524999943m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50578441-0.50561666) × R
    0.000167749999999911 × 6371000     		dr = 1068.73524999943m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50180347-0.50199521) × cos(0.50578441) × R
    0.000191739999999996 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 1068.6278102696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50180347-0.50199521) × cos(0.50561666) × R
    0.000191739999999996 × 0.874875963347861 × 6371000     		du = 1068.72707735966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50578441)-sin(0.50561666))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874875963347861)×R²
    abs(0.50199521-0.50180347)×8.12615240026737e-05×R²
    0.000191739999999996×8.12615240026737e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.12615240026737e-05×40589641000000     		ar = 1142133.25776207m²