Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19001 / 13623
↖ ↑ ↗
← N 29.008140°
E 28.751221°		 ← 1 068.33 m → N 29.008140°
E 28.762207°		 →
↑
1 068.42 m
↓
↑
1 068.42 m
↓
N 28.998532°
E 28.751221°		 ← 1 068.43 m →
1 141 475 m²		 N 28.998532°
E 28.762207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579879760742188 y=0.415756225585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579879760742188 × 215)
    floor (0.579879760742188 × 32768)
    floor (19001.5)     		tx = 19001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415756225585938 × 215)
    floor (0.415756225585938 × 32768)
    floor (13623.5)     		ty = 13623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19001 / 13623 ti = "15/19001/13623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19001/13623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19001 ÷ 215
    19001 ÷ 32768     		x = 0.579864501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13623 ÷ 215
    13623 ÷ 32768     		y = 0.415740966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579864501953125 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.50180347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415740966796875 × 2 - 1) × π
    0.16851806640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.5294151194039
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50180347} λ = 0.50180347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.5294151194039))-π/2
    2×atan(1.6979389266104)-π/2
    2×1.03854194299815-π/2
    2.0770838859963-1.57079632675     		φ = 0.50628756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50180347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.751221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50628756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.008140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19001 KachelY 13623 0.50180347 0.50628756 28.751221 29.008140
    Oben rechts KachelX + 1 19002 KachelY 13623 0.50199521 0.50628756 28.762207 29.008140
    Unten links KachelX 19001 KachelY + 1 13624 0.50180347 0.50611986 28.751221 28.998532
    Unten rechts KachelX + 1 19002 KachelY + 1 13624 0.50199521 0.50611986 28.762207 28.998532
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50628756-0.50611986) × R
    0.000167699999999993 × 6371000     		dl = 1068.41669999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50628756-0.50611986) × R
    0.000167699999999993 × 6371000     		dr = 1068.41669999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50180347-0.50199521) × cos(0.50628756) × R
    0.000191739999999996 × 0.874550818053727 × 6371000     		do = 1068.3298878214m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50180347-0.50199521) × cos(0.50611986) × R
    0.000191739999999996 × 0.874632129167169 × 6371000     		du = 1068.42921548871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50628756)-sin(0.50611986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874550818053727-0.874632129167169)×R²
    abs(0.50199521-0.50180347)×8.13111134417843e-05×R²
    0.000191739999999996×8.13111134417843e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.13111134417843e-05×40589641000000     		ar = 1141474.55760208m²