Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 19000 / 13630
↖ ↑ ↗
← N 28.940862°
E 28.740235°		 ← 1 069.08 m → N 28.940862°
E 28.751221°		 →
↑
1 069.12 m
↓
↑
1 069.12 m
↓
N 28.931247°
E 28.740235°		 ← 1 069.18 m →
1 143 026 m²		 N 28.931247°
E 28.751221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 19000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579849243164062 y=0.415969848632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579849243164062 × 215)
    floor (0.579849243164062 × 32768)
    floor (19000.5)     		tx = 19000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415969848632812 × 215)
    floor (0.415969848632812 × 32768)
    floor (13630.5)     		ty = 13630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 19000 / 13630 ti = "15/19000/13630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/19000/13630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 19000 ÷ 215
    19000 ÷ 32768     		x = 0.579833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13630 ÷ 215
    13630 ÷ 32768     		y = 0.41595458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579833984375 × 2 - 1) × π
    0.15966796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50161172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41595458984375 × 2 - 1) × π
    0.1680908203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.528072886214539
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50161172} λ = 0.50161172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.528072886214539))-π/2
    2×atan(1.69566142544035)-π/2
    2×1.03795482651118-π/2
    2.07590965302237-1.57079632675     		φ = 0.50511333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50161172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.740235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50511333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.940862°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 19000 KachelY 13630 0.50161172 0.50511333 28.740235 28.940862
    Oben rechts KachelX + 1 19001 KachelY 13630 0.50180347 0.50511333 28.751221 28.940862
    Unten links KachelX 19000 KachelY + 1 13631 0.50161172 0.50494552 28.740235 28.931247
    Unten rechts KachelX + 1 19001 KachelY + 1 13631 0.50180347 0.50494552 28.751221 28.931247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50511333-0.50494552) × R
    0.00016780999999999 × 6371000     		dl = 1069.11750999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50511333-0.50494552) × R
    0.00016780999999999 × 6371000     		dr = 1069.11750999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50161172-0.50180347) × cos(0.50511333) × R
    0.000191750000000046 × 0.875119638908872 × 6371000     		do = 1069.08049933716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50161172-0.50180347) × cos(0.50494552) × R
    0.000191750000000046 × 0.875200830956747 × 6371000     		du = 1069.17968672963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50511333)-sin(0.50494552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875119638908872-0.875200830956747)×R²
    abs(0.50180347-0.50161172)×8.11920478749339e-05×R²
    0.000191750000000046×8.11920478749339e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.11920478749339e-05×40589641000000     		ar = 1143025.70561214m²