Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1900 / 829
↖ ↑ ↗
← N 72.475276°
W 13.007813°		 ← 2 942.82 m → N 72.475276°
W 12.919922°		 →
↑
2 944.99 m
↓
↑
2 944.99 m
↓
N 72.448791°
W 13.007813°		 ← 2 947.12 m →
8 672 919 m²		 N 72.448791°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4639892578125 y=0.2025146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4639892578125 × 212)
    floor (0.4639892578125 × 4096)
    floor (1900.5)     		tx = 1900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2025146484375 × 212)
    floor (0.2025146484375 × 4096)
    floor (829.5)     		ty = 829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1900 / 829 ti = "12/1900/829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1900/829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1900 ÷ 212
    1900 ÷ 4096     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 829 ÷ 212
    829 ÷ 4096     		y = 0.202392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.202392578125 × 2 - 1) × π
    0.59521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.86992258037915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.86992258037915))-π/2
    2×atan(6.48779409728378)-π/2
    2×1.41786426234859-π/2
    2.83572852469717-1.57079632675     		φ = 1.26493220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.26493220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.475276°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1900 KachelY 829 -0.22702916 1.26493220 -13.007813 72.475276
    Oben rechts KachelX + 1 1901 KachelY 829 -0.22549518 1.26493220 -12.919922 72.475276
    Unten links KachelX 1900 KachelY + 1 830 -0.22702916 1.26446995 -13.007813 72.448791
    Unten rechts KachelX + 1 1901 KachelY + 1 830 -0.22549518 1.26446995 -12.919922 72.448791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.26493220-1.26446995) × R
    0.000462249999999997 × 6371000     		dl = 2944.99474999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.26493220-1.26446995) × R
    0.000462249999999997 × 6371000     		dr = 2944.99474999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.26493220) × R
    0.00153398000000002 × 0.301117307699907 × 6371000     		do = 2942.81540715695m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.26446995) × R
    0.00153398000000002 × 0.30155807115291 × 6371000     		du = 2947.12298246811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.26493220)-sin(1.26446995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.301117307699907-0.30155807115291)×R²
    abs(-0.22549518--0.22702916)×0.000440763453003146×R²
    0.00153398000000002×0.000440763453003146×6371000²
    0.00153398000000002×0.000440763453003146×40589641000000     		ar = 8672918.9720666m²