Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1900 / 1041
N 65.910623°
W 13.007813°
← 3 988.95 m → N 65.910623°
W 12.919922°

3 991.75 m

3 991.75 m
N 65.874725°
W 13.007813°
← 3 994.54 m →
15 934 063 m²
N 65.874725°
W 12.919922°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4639892578125 y=0.2542724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4639892578125 × 212)
    floor (0.4639892578125 × 4096)
    floor (1900.5)
    tx = 1900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2542724609375 × 212)
    floor (0.2542724609375 × 4096)
    floor (1041.5)
    ty = 1041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1900 / 1041 ti = "12/1900/1041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1900/1041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1900 ÷ 212
    1900 ÷ 4096
    x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1041 ÷ 212
    1041 ÷ 4096
    y = 0.254150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535
    Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.254150390625 × 2 - 1) × π
    0.49169921875 × 3.1415926535
    Φ = 1.54471865335669
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54471865335669))-π/2
    2×atan(4.6866528674638)-π/2
    2×1.36057685806812-π/2
    2.72115371613624-1.57079632675
    φ = 1.15035739
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15035739 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.910623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1900 KachelY 1041 -0.22702916 1.15035739 -13.007813 65.910623
    Oben rechts KachelX + 1 1901 KachelY 1041 -0.22549518 1.15035739 -12.919922 65.910623
    Unten links KachelX 1900 KachelY + 1 1042 -0.22702916 1.14973084 -13.007813 65.874725
    Unten rechts KachelX + 1 1901 KachelY + 1 1042 -0.22549518 1.14973084 -12.919922 65.874725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.15035739-1.14973084) × R
    0.000626550000000003 × 6371000
    dl = 3991.75005000002m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.15035739-1.14973084) × R
    0.000626550000000003 × 6371000
    dr = 3991.75005000002m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.15035739) × R
    0.00153398000000002 × 0.40816120209893 × 6371000
    do = 3988.95395058955m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.14973084) × R
    0.00153398000000002 × 0.408733105626485 × 6371000
    du = 3994.54315608941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.15035739)-sin(1.14973084))×
    abs(λ12)×abs(0.40816120209893-0.408733105626485)×
    abs(-0.22549518--0.22702916)×0.000571903527555484×
    0.00153398000000002×0.000571903527555484×6371000²
    0.00153398000000002×0.000571903527555484×40589641000000
    ar = 15934063.0086391m²