Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1900 / 1017
↖ ↑ ↗
← N 66.757250°
W 13.007813°		 ← 3 856.69 m → N 66.757250°
W 12.919922°		 →
↑
3 859.42 m
↓
↑
3 859.42 m
↓
N 66.722541°
W 13.007813°		 ← 3 862.13 m →
14 895 100 m²		 N 66.722541°
W 12.919922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1900 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1017 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4639892578125 y=0.2484130859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4639892578125 × 212)
    floor (0.4639892578125 × 4096)
    floor (1900.5)     		tx = 1900
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2484130859375 × 212)
    floor (0.2484130859375 × 4096)
    floor (1017.5)     		ty = 1017
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1900 / 1017 ti = "12/1900/1017"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1900/1017.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1900 ÷ 212
    1900 ÷ 4096     		x = 0.4638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1017 ÷ 212
    1017 ÷ 4096     		y = 0.248291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4638671875 × 2 - 1) × π
    -0.072265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.22702916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.248291015625 × 2 - 1) × π
    0.50341796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58153419226489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.22702916} λ = -0.22702916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58153419226489))-π/2
    2×atan(4.86240996347869)-π/2
    2×1.36796506804291-π/2
    2.73593013608582-1.57079632675     		φ = 1.16513381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.22702916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -13.007813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16513381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.757250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1900 KachelY 1017 -0.22702916 1.16513381 -13.007813 66.757250
    Oben rechts KachelX + 1 1901 KachelY 1017 -0.22549518 1.16513381 -12.919922 66.757250
    Unten links KachelX 1900 KachelY + 1 1018 -0.22702916 1.16452803 -13.007813 66.722541
    Unten rechts KachelX + 1 1901 KachelY + 1 1018 -0.22549518 1.16452803 -12.919922 66.722541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16513381-1.16452803) × R
    0.000605779999999889 × 6371000     		dl = 3859.42437999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16513381-1.16452803) × R
    0.000605779999999889 × 6371000     		dr = 3859.42437999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.16513381) × R
    0.00153398000000002 × 0.394627594627558 × 6371000     		do = 3856.69018639285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.22702916--0.22549518) × cos(1.16452803) × R
    0.00153398000000002 × 0.395184137778101 × 6371000     		du = 3862.1292751343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16513381)-sin(1.16452803))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394627594627558-0.395184137778101)×R²
    abs(-0.22549518--0.22702916)×0.000556543150543487×R²
    0.00153398000000002×0.000556543150543487×6371000²
    0.00153398000000002×0.000556543150543487×40589641000000     		ar = 14895100.4628189m²