Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 190 / 203
↖ ↑ ↗
← S 71.965388°
E 87.187500°		 ← 48.410 km → S 71.965388°
E 88.593750°		 →
↑
47.849 km
↓
↑
47.849 km
↓
S 72.395706°
E 87.187500°		 ← 47.292 km →
2 289.65 km²		 S 72.395706°
E 88.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 190 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.744140625 y=0.794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.744140625 × 28)
    floor (0.744140625 × 256)
    floor (190.5)     		tx = 190
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.794921875 × 28)
    floor (0.794921875 × 256)
    floor (203.5)     		ty = 203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 190 / 203 ti = "8/190/203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/190/203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 190 ÷ 28
    190 ÷ 256     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 203 ÷ 28
    203 ÷ 256     		y = 0.79296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79296875 × 2 - 1) × π
    -0.5859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.84077694541016
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.84077694541016))-π/2
    2×atan(0.158694081558849)-π/2
    2×0.157381681993559-π/2
    0.314763363987118-1.57079632675     		φ = -1.25603296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25603296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.965388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 190 KachelY 203 1.52170894 -1.25603296 87.187500 -71.965388
    Oben rechts KachelX + 1 191 KachelY 203 1.54625263 -1.25603296 88.593750 -71.965388
    Unten links KachelX 190 KachelY + 1 204 1.52170894 -1.26354343 87.187500 -72.395706
    Unten rechts KachelX + 1 191 KachelY + 1 204 1.54625263 -1.26354343 88.593750 -72.395706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25603296--1.26354343) × R
    0.00751046999999994 × 6371000     		dl = 47849.2043699996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25603296--1.26354343) × R
    0.00751046999999994 × 6371000     		dr = 47849.2043699996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.54625263) × cos(-1.25603296) × R
    0.02454369 × 0.30959147256103 × 6371000     		do = 48410.152630015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.54625263) × cos(-1.26354343) × R
    0.02454369 × 0.302441330058417 × 6371000     		du = 47292.1002269093m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25603296)-sin(-1.26354343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.30959147256103-0.302441330058417)×R²
    abs(1.54625263-1.52170894)×0.00715014250261337×R²
    0.02454369×0.00715014250261337×6371000²
    0.02454369×0.00715014250261337×40589641000000     		ar = 2289649090.53705m²