Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18997 / 13633
↖ ↑ ↗
← N 28.912015°
E 28.707275°		 ← 1 069.38 m → N 28.912015°
E 28.718262°		 →
↑
1 069.44 m
↓
↑
1 069.44 m
↓
N 28.902397°
E 28.707275°		 ← 1 069.48 m →
1 143 684 m²		 N 28.902397°
E 28.718262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18997 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579757690429688 y=0.416061401367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579757690429688 × 215)
    floor (0.579757690429688 × 32768)
    floor (18997.5)     		tx = 18997
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416061401367188 × 215)
    floor (0.416061401367188 × 32768)
    floor (13633.5)     		ty = 13633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18997 / 13633 ti = "15/18997/13633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18997/13633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18997 ÷ 215
    18997 ÷ 32768     		x = 0.579742431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13633 ÷ 215
    13633 ÷ 32768     		y = 0.416046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579742431640625 × 2 - 1) × π
    0.15948486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50103647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416046142578125 × 2 - 1) × π
    0.16790771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.527497643419098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50103647} λ = 0.50103647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527497643419098))-π/2
    2×atan(1.69468628891888)-π/2
    2×1.03770308835181-π/2
    2.07540617670361-1.57079632675     		φ = 0.50460985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50103647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.707275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50460985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.912015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18997 KachelY 13633 0.50103647 0.50460985 28.707275 28.912015
    Oben rechts KachelX + 1 18998 KachelY 13633 0.50122822 0.50460985 28.718262 28.912015
    Unten links KachelX 18997 KachelY + 1 13634 0.50103647 0.50444199 28.707275 28.902397
    Unten rechts KachelX + 1 18998 KachelY + 1 13634 0.50122822 0.50444199 28.718262 28.902397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50460985-0.50444199) × R
    0.00016786000000002 × 6371000     		dl = 1069.43606000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50460985-0.50444199) × R
    0.00016786000000002 × 6371000     		dr = 1069.43606000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50103647-0.50122822) × cos(0.50460985) × R
    0.000191750000000046 × 0.87536316528603 × 6371000     		do = 1069.37800071791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50103647-0.50122822) × cos(0.50444199) × R
    0.000191750000000046 × 0.875444307548174 × 6371000     		du = 1069.47712729018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50460985)-sin(0.50444199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87536316528603-0.875444307548174)×R²
    abs(0.50122822-0.50103647)×8.11422621441737e-05×R²
    0.000191750000000046×8.11422621441737e-05×6371000²
    0.000191750000000046×8.11422621441737e-05×40589641000000     		ar = 1143684.40318984m²