Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 18996 / 15469
↖ ↑ ↗
← N 10.001311°
E 28.696289°		 ← 1 203.01 m → N 10.001311°
E 28.707275°		 →
↑
1 203.10 m
↓
↑
1 203.10 m
↓
N  9.990491°
E 28.696289°		 ← 1 203.05 m →
1 447 368 m²		 N  9.990491°
E 28.707275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579727172851562 y=0.472091674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579727172851562 × 215)
    floor (0.579727172851562 × 32768)
    floor (18996.5)     		tx = 18996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472091674804688 × 215)
    floor (0.472091674804688 × 32768)
    floor (15469.5)     		ty = 15469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18996 / 15469 ti = "15/18996/15469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18996/15469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18996 ÷ 215
    18996 ÷ 32768     		x = 0.5797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15469 ÷ 215
    15469 ÷ 32768     		y = 0.472076416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5797119140625 × 2 - 1) × π
    0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.472076416015625 × 2 - 1) × π
    0.05584716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.175449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50084473} λ = 0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.175449052609406))-π/2
    2×atan(1.19178126895871)-π/2
    2×0.872676061048447-π/2
    1.74535212209689-1.57079632675     		φ = 0.17455580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17455580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.001311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18996 KachelY 15469 0.50084473 0.17455580 28.696289 10.001311
    Oben rechts KachelX + 1 18997 KachelY 15469 0.50103647 0.17455580 28.707275 10.001311
    Unten links KachelX 18996 KachelY + 1 15470 0.50084473 0.17436696 28.696289 9.990491
    Unten rechts KachelX + 1 18997 KachelY + 1 15470 0.50103647 0.17436696 28.707275 9.990491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17455580-0.17436696) × R
    0.000188840000000023 × 6371000     		dl = 1203.09964000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17455580-0.17436696) × R
    0.000188840000000023 × 6371000     		dr = 1203.09964000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50084473-0.50103647) × cos(0.17455580) × R
    0.000191739999999996 × 0.984803780587122 × 6371000     		do = 1203.01221006473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50084473-0.50103647) × cos(0.17436696) × R
    0.000191739999999996 × 0.984836559003521 × 6371000     		du = 1203.05225137644m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17455580)-sin(0.17436696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984803780587122-0.984836559003521)×R²
    abs(0.50103647-0.50084473)×3.27784163988154e-05×R²
    0.000191739999999996×3.27784163988154e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.27784163988154e-05×40589641000000     		ar = 1447367.64798963m²