Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18996 / 14688
↖ ↑ ↗
← N 18.312811°
E 28.696289°		 ← 1 159.71 m → N 18.312811°
E 28.707275°		 →
↑
1 159.78 m
↓
↑
1 159.78 m
↓
N 18.302380°
E 28.696289°		 ← 1 159.78 m →
1 345 044 m²		 N 18.302380°
E 28.707275°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18996 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14688 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579727172851562 y=0.448257446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579727172851562 × 215)
    floor (0.579727172851562 × 32768)
    floor (18996.5)     		tx = 18996
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.448257446289062 × 215)
    floor (0.448257446289062 × 32768)
    floor (14688.5)     		ty = 14688
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18996 / 14688 ti = "15/18996/14688"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18996/14688.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18996 ÷ 215
    18996 ÷ 32768     		x = 0.5797119140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14688 ÷ 215
    14688 ÷ 32768     		y = 0.4482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5797119140625 × 2 - 1) × π
    0.159423828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50084473
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    0.103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.325203927022461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50084473} λ = 0.50084473}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.325203927022461))-π/2
    2×atan(1.38431291600965)-π/2
    2×0.945207585675563-π/2
    1.89041517135113-1.57079632675     		φ = 0.31961884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50084473} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.696289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.31961884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.312811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18996 KachelY 14688 0.50084473 0.31961884 28.696289 18.312811
    Oben rechts KachelX + 1 18997 KachelY 14688 0.50103647 0.31961884 28.707275 18.312811
    Unten links KachelX 18996 KachelY + 1 14689 0.50084473 0.31943680 28.696289 18.302380
    Unten rechts KachelX + 1 18997 KachelY + 1 14689 0.50103647 0.31943680 28.707275 18.302380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.31961884-0.31943680) × R
    0.000182039999999994 × 6371000     		dl = 1159.77683999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.31961884-0.31943680) × R
    0.000182039999999994 × 6371000     		dr = 1159.77683999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50084473-0.50103647) × cos(0.31961884) × R
    0.000191739999999996 × 0.949355249315924 × 6371000     		do = 1159.70915133491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50084473-0.50103647) × cos(0.31943680) × R
    0.000191739999999996 × 0.949412431414014 × 6371000     		du = 1159.77900358726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.31961884)-sin(0.31943680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949355249315924-0.949412431414014)×R²
    abs(0.50103647-0.50084473)×5.71820980903581e-05×R²
    0.000191739999999996×5.71820980903581e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.71820980903581e-05×40589641000000     		ar = 1345044.32508082m²