Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18995 / 15421
↖ ↑ ↗
← N 10.520218°
E 28.685303°		 ← 1 201.10 m → N 10.520218°
E 28.696289°		 →
↑
1 201.12 m
↓
↑
1 201.12 m
↓
N 10.509416°
E 28.685303°		 ← 1 201.15 m →
1 442 701 m²		 N 10.509416°
E 28.696289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18995 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579696655273438 y=0.470626831054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579696655273438 × 215)
    floor (0.579696655273438 × 32768)
    floor (18995.5)     		tx = 18995
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470626831054688 × 215)
    floor (0.470626831054688 × 32768)
    floor (15421.5)     		ty = 15421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18995 / 15421 ti = "15/18995/15421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18995/15421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18995 ÷ 215
    18995 ÷ 32768     		x = 0.579681396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15421 ÷ 215
    15421 ÷ 32768     		y = 0.470611572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.579681396484375 × 2 - 1) × π
    0.15936279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.50065298
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.470611572265625 × 2 - 1) × π
    0.05877685546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.184652937336456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50065298} λ = 0.50065298}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184652937336456))-π/2
    2×atan(1.20280092038799)-π/2
    2×0.877204389203641-π/2
    1.75440877840728-1.57079632675     		φ = 0.18361245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50065298} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.685303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18361245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.520218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18995 KachelY 15421 0.50065298 0.18361245 28.685303 10.520218
    Oben rechts KachelX + 1 18996 KachelY 15421 0.50084473 0.18361245 28.696289 10.520218
    Unten links KachelX 18995 KachelY + 1 15422 0.50065298 0.18342392 28.685303 10.509416
    Unten rechts KachelX + 1 18996 KachelY + 1 15422 0.50084473 0.18342392 28.696289 10.509416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18361245-0.18342392) × R
    0.00018853000000002 × 6371000     		dl = 1201.12463000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18361245-0.18342392) × R
    0.00018853000000002 × 6371000     		dr = 1201.12463000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50065298-0.50084473) × cos(0.18361245) × R
    0.000191749999999935 × 0.983190539339954 × 6371000     		do = 1201.10415308595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50065298-0.50084473) × cos(0.18342392) × R
    0.000191749999999935 × 0.983224944142355 × 6371000     		du = 1201.14618334295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18361245)-sin(0.18342392))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983190539339954-0.983224944142355)×R²
    abs(0.50084473-0.50065298)×3.44048024008003e-05×R²
    0.000191749999999935×3.44048024008003e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.44048024008003e-05×40589641000000     		ar = 1442701.02752861m²