Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18994 / 15466
↖ ↑ ↗
← N 10.033767°
E 28.674316°		 ← 1 202.95 m → N 10.033767°
E 28.685303°		 →
↑
1 202.97 m
↓
↑
1 202.97 m
↓
N 10.022948°
E 28.674316°		 ← 1 202.99 m →
1 447 145 m²		 N 10.022948°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579666137695312 y=0.472000122070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579666137695312 × 215)
    floor (0.579666137695312 × 32768)
    floor (18994.5)     		tx = 18994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.472000122070312 × 215)
    floor (0.472000122070312 × 32768)
    floor (15466.5)     		ty = 15466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18994 / 15466 ti = "15/18994/15466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18994/15466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18994 ÷ 215
    18994 ÷ 32768     		x = 0.57965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15466 ÷ 215
    15466 ÷ 32768     		y = 0.47198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57965087890625 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50046123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47198486328125 × 2 - 1) × π
    0.0560302734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.176024295404846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50046123} λ = 0.50046123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.176024295404846))-π/2
    2×atan(1.19246702976799)-π/2
    2×0.872959297525088-π/2
    1.74591859505018-1.57079632675     		φ = 0.17512227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50046123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.17512227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.033767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18994 KachelY 15466 0.50046123 0.17512227 28.674316 10.033767
    Oben rechts KachelX + 1 18995 KachelY 15466 0.50065298 0.17512227 28.685303 10.033767
    Unten links KachelX 18994 KachelY + 1 15467 0.50046123 0.17493345 28.674316 10.022948
    Unten rechts KachelX + 1 18995 KachelY + 1 15467 0.50065298 0.17493345 28.685303 10.022948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.17512227-0.17493345) × R
    0.000188820000000006 × 6371000     		dl = 1202.97222000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.17512227-0.17493345) × R
    0.000188820000000006 × 6371000     		dr = 1202.97222000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50046123-0.50065298) × cos(0.17512227) × R
    0.000191750000000046 × 0.984705243342195 × 6371000     		do = 1202.95457494792m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50046123-0.50065298) × cos(0.17493345) × R
    0.000191750000000046 × 0.984738123620853 × 6371000     		du = 1202.99474278687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.17512227)-sin(0.17493345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.984705243342195-0.984738123620853)×R²
    abs(0.50065298-0.50046123)×3.28802786576654e-05×R²
    0.000191750000000046×3.28802786576654e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.28802786576654e-05×40589641000000     		ar = 1447145.10028112m²