Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 18994 / 15420
↖ ↑ ↗
← N 10.531020°
E 28.674316°		 ← 1 201.06 m → N 10.531020°
E 28.685303°		 →
↑
1 201.06 m
↓
↑
1 201.06 m
↓
N 10.520218°
E 28.674316°		 ← 1 201.10 m →
1 442 574 m²		 N 10.520218°
E 28.685303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 18994 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.579666137695312 y=0.470596313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.579666137695312 × 215)
    floor (0.579666137695312 × 32768)
    floor (18994.5)     		tx = 18994
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.470596313476562 × 215)
    floor (0.470596313476562 × 32768)
    floor (15420.5)     		ty = 15420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 18994 / 15420 ti = "15/18994/15420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/18994/15420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 18994 ÷ 215
    18994 ÷ 32768     		x = 0.57965087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15420 ÷ 215
    15420 ÷ 32768     		y = 0.4705810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.57965087890625 × 2 - 1) × π
    0.1593017578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.50046123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4705810546875 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.184844684934937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.50046123} λ = 0.50046123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.184844684934937))-π/2
    2×atan(1.20303157668911)-π/2
    2×0.877298649765409-π/2
    1.75459729953082-1.57079632675     		φ = 0.18380097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.50046123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.674316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18380097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.531020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 18994 KachelY 15420 0.50046123 0.18380097 28.674316 10.531020
    Oben rechts KachelX + 1 18995 KachelY 15420 0.50065298 0.18380097 28.685303 10.531020
    Unten links KachelX 18994 KachelY + 1 15421 0.50046123 0.18361245 28.674316 10.520218
    Unten rechts KachelX + 1 18995 KachelY + 1 15421 0.50065298 0.18361245 28.685303 10.520218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18380097-0.18361245) × R
    0.000188519999999998 × 6371000     		dl = 1201.06091999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18380097-0.18361245) × R
    0.000188519999999998 × 6371000     		dr = 1201.06091999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.50046123-0.50065298) × cos(0.18380097) × R
    0.000191750000000046 × 0.983156101419139 × 6371000     		do = 1201.06208237089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.50046123-0.50065298) × cos(0.18361245) × R
    0.000191750000000046 × 0.983190539339954 × 6371000     		du = 1201.10415308665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18380097)-sin(0.18361245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983156101419139-0.983190539339954)×R²
    abs(0.50065298-0.50046123)×3.44379208152557e-05×R²
    0.000191750000000046×3.44379208152557e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.44379208152557e-05×40589641000000     		ar = 1442573.99864825m²